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Beitrag |
    
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 16:43: | 
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Erntezeit auf der Kokosnussplantage. Die Arbeiter liefern ihre Ernte in kleinen Körben mit je sechs Kokosnüssen ab. Der Zählmeister sortiert die Kokosnüsse in einen großen rechteckigen Holzrahmen, der schachbrettartig in viele gleichgroße Fächer unterteilt ist: eine Kokosnuss in jedes Fach. Es wird den ganzen Tag geerntet, bis der Zählrahmen vollständig gefüllt ist. Vom letzten Erntekorb bleibt eine Kokosnuss über, die gehört dem Zählmeister.
Nach getaner Arbeit versammeln sich die Tagelöhner, um ihren Lohn zu erhalten: ein Dutzend Kokosnüsse für jeden. Sie entnehmen ihre Kokosnüsse rundum aus den Randfächern des Zählrahmens (also die Kokosnüsse, die den Außenrahmen berühren). Danach bleiben für den Zählmeister weniger als ein Dutzend gefüllte Randfächer über.
Wieviele Kokosnüsse Tageslohn erhält der Zählmeister denn genau?
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Markus (boothby81)
Moderator
Benutzername: boothby81
Nummer des Beitrags: 59
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 19:11: |
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hi sol@ti.
erste tests legen die vermutung nahe, daß der zählmeister immer 11 kokosnüsse erhält, also 1 aus dem letzten korb und 10 von den randfächern.
dies wäre folgende behauptung:
seien a und b die anzahl der reihen bzw. spalten des holzrahmens. dann gibt es 2*(a+b-1) randfächer.
behauptung:
(2*(a+b-1))mod 12 = 10
<=> (2*(a+b))mod 12 = 0
<=> (a+b)mod 6 = 0
laut aufgabenstellung ist
(a*b)mod 6 = 5
(es werden immer 6 kokosnüsse abgeliefert, am ende bleibt eine übrig)
dies gilt aber nur genau dann, wenn
a mod 6 = 1 und b mod 6 = 5
bzw.
a mod 6 = 5 und b mod 6 = 1 gilt.
also gilt immer (a+b)mod 6 = 0
der zählmeister erhält also immer 11 kokosnüsse, gerechterweise eine weniger als die arbeiter, er hat ja auch nicht ganz so viel zu tun.
gruß
markus |
Rebekka Malten (rebmalten)
Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 21:01: |
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Hi Markus,
ich habe mir nicht Deine ganzen Ausführungen angesehen (ich weiß auch nicht so genau, was 'mod' bedeutet ?); aber muß es nicht heißen:
"...dann gibt es 2*(a + b - 2) Randfächer." ?
Gruß
Reb
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Juppy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 21:26: |
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Hallo Rebekka, du hast recht.
Hallo Markus
du hast mich gestern so nett auf meinen Fehler aufmerksam gemacht, ich möchte bei dir auch ein bisschen korrekturlesen.
Du hast die Anzahl der Randfächer eines a×b-Rahmens mit 2*(a+b-1) festgelegt. Mach mal die Probe an einem Rahmen deiner Wahl.
Ich habe leider keine vollständige Lösung, aber meine ersten Tests haben die Vermutung nahegelegt, dass der Lohn des Zählmeisters aus 8 Nüssen zzgl. der letzten Nuss besteht.
Jedenfalls hat sich dies für kleine Zahlen herausgestellt:
| 6n+5 | b | h | Anz. Randfächer | Modulo 12 | | | | | | | 35 | 5 | 7 | 20 | 8 | | 65 | 5 | 13 | 32 | 8 | | 77 | 7 | 11 | 32 | 8 | | 95 | 5 | 19 | 44 | 8 | | 119 | 7 | 17 | 44 | 8 | | 125 | 5 | 25 | 56 | 8 |
Die Anzahl der Nüsse im Zählrahmen ist (mit n€IN) gleich 6n+5, also eine ungerade Zahl.
Das heißt, die Anzahlen der Fächerspalten (sei b) und der Fächerzeilen (sei h) sind auch ungeradzahlig.
also:
b ist ungerade, h ist ungerade
Die Anzahl Randfächer ist 2b + 2h - 4 = 2(b+h)-4
Die Summe b+h ist eine gerade Zahl. Dann muss 2(b+h) ein ganzzahliges Vielfaches von 4 sein und
2(b+h)-4 dann auch.
Da der Zählmeister aus dem Zählrahmen weniger als ein Dutzend Nüsse bekommt, kann sein Lohn aus dem Rahmen also nur 4 oder 8 Nüsse sein (mal davon abgesehen, dass es 0 sein könnten)
Wie es jetzt weitergeht, kann ich nicht sagen, wenn ich versuchen wollte, den Lösungsweg mit der korrigierten Anzahl von Randfächern einfach abzuschreiben, dann scheitere ich leider an der Argumentation mit dem mod.
Gruß
Juppy |
Markus (boothby81)
Moderator
Benutzername: boothby81
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 22:23: |
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hallo rebekka, hallo juppy.
erstmal folgendes @rebekka:
'mod' (gelesen 'modulo') ist folgendermaßen definiert:
a=n*b + c => a mod b = c
(a,b,c,n sind ganze zahlen)
d.h. a mod b ergibt den rest, der bleibt, wenn man die zahl a durch b teilt.
beispiel: 10 mod 6 = 4; 20 mod 6 = 2; usw.
dann ein dankeschön an euch zwei, daß ihr mich auf meinen dummen kleinen fehler aufmerksam gemacht habt. jedoch funktioniert der beweis immer noch genauso. folgende änderung:
...dann gibt es 2*(a+b-2) randfächer.
behauptung:
(2*(a+b-2))mod 12 = 8
<=> (2*(a+b))mod 12 = 0
<=> (a+b)mod 6 = 0
dementsprechend bekommt der zählmeister, wie von juppy angegeben, nun 8 bzw. 9 kokosnüsse.
gruß
markus
(Beitrag nachträglich am 22., Juli. 2002 von boothby81 editiert) |
Rebekka Malten (rebmalten)
Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 22:58: |
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Danke, Markus, für die 'mod'-Erklärung. Werde mir Deinen Beweis jetzt doch mal in Ruhe anschauen...:-)
Was bedeutet eigentlich dieser Nachsatz: 'Beitrag nachträglich am ...'?
Schlaft alle gut,
Reb
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Juppy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 23:01: |
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Hallo Markus, ich kann mich an die Verwendung von dem "mod" nur schwer gewöhnen, geht das auch so:
eine ungerade Zahl ist immer von einer der drei Formen
6p+1
6p+3
6p+5
mit p€IN.
dann gibt es (bis auf Vertauschung) 6 Möglichkeiten für b und h:
b=6p+1 und h=6q+1, deren Produkt bh=36pq+6p+6q+1 ist aber keine Zahl der Form 6n+5
b=6p+1 und h=6q+3, deren Produkt bh=36pq+18p+6q+3 ist aber auch keine Zahl der Form 6n+5
b=6p+1 und h=6q+5, deren Produkt bh=36pq+30p+6q+5 ist eine Zahl der Form 6n+5
b=6p+3 und h=6q+3, deren Produkt bh=36pq+18p+18q+9 ist keine Zahl der Form 6n+5, sondern von der Form 6n+3
b=6p+3 und h=6q+5, deren Produkt bh=36pq+30p+18q+15 ist keine Zahl der Form 6n+5, sondern auch von der Form 6n+3
b=6p+5 und h=6q+5, deren Produkt bh=36pq+30p+30q+25 ist keine Zahl der Form 6n+5, sondern von der Form 6n+1
also kann b*h hier nur dann ein Produkt von der Form 6n+5 sein, wenn
b=6p+1 und h=6q+5 ist (oder umgekehrt, ist aber dasselbe, dann sind nur Höhe und Breite des Zählrahmens vertauscht)
damit ist dann die Anzahl der Nüsse im Zählrahmen
2(b+h)-4
= 2(6p+1 + 6q+5) - 4
= 2(6p+6q+6) - 4
= 12*(p+q+1) - 4
und solch eine Zahl lässt bei Division durch 12 den Rest 8.
?
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1243
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 23:10: |
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Hallo Reb,
innerhalb von 20 Minuten kannst du deinen eigenen Beitrag verbessern (so wie ich jetzt), wenn du merkst, dass du Schrott gepostet hast. Klicke dazu in deinem Beitrag rechts oben auf das Symbol, das so ähnlich aussieht wie ein Brief. Wenn du das machst, erscheint dann im korrigierten Posting der Zusatz "Beitrag nachträglich am ...".
Schlaf auch gut
Z.
(Beitrag nachträglich am 23., Juli. 2002 von zaph editiert) |
Markus (boothby81)
Moderator
Benutzername: boothby81
Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 01:33: |
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hallo nochmal.
juppy, wenn dein ganzer beitrag eine frage sein sollte
(...geht das auch so:
.
.
.
?),
dann kann ich mit ja darauf antworten. klar, natürlich ;).
dann möchte ich noch, wie zwar ein paar andere auch schon, sol@ti ein riesen kompliment machen. die letzten wochen hier im forum waren echt unglaublich unterhaltsam, auch wenn ich einige aufgaben und ihre lösungen mangels mathematischer kompetenz nur mitlesen und zu verstehen versuchen konnte (z.b. ps-zahlen). ich hoffe du bleibst dem forum noch lange erhalten und hast weiterhin so kreative einfälle.
ich wünsch euch auch noch ne gute nacht (obwohl ihr die wahrscheinlich schon habt).
gruß
markus |
Rebekka Malten (rebmalten)
Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 13:17: |
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@Zaph:
Danke.
@Markus:
Kann man mit der mod-Funktion so rechnen:
(a*b) mod 6 = (a mod 6)*(b mod 6) ??
...o.k., es ist erlaubt; ich hab's gerade allgemein nachgerechnet.
(...zum Glück weiß ich jetzt, wie man 'ne Nachricht editieren kann...)
(Beitrag nachträglich am 23., Juli. 2002 von rebmalten editiert)
Reb
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clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 13:30: |
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@reb
nicht immer kann man so rechnen. Es könnte sein, dass (a mod 6)(b mod 6) größer ist als 6 und dann musst du noch mal modulo rechnen. Also:
ab mod 6 = ((a mod 6)(b mod 6)) mod 6
gruß clara |
Markus (boothby81)
Moderator
Benutzername: boothby81
Nummer des Beitrags: 63
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 13:46: |
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genauso ist es.
wahrscheinlich hast du das beim allgemeinen nachrechnen intuitiv so gemacht. diese eigenschaft ist sehr praktisch, so kann man sich beim rechnen große zahlen ersparen. das gleiche gilt übrigens für die addition:
(a*b)mod c = ((a mod c)*(b mod c))mod c
(a+b)mod c = ((a mod c)+(b mod c))mod c
gruß
markus |
Rebekka Malten (rebmalten)
Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 14:13: |
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Danke für's Erklären an Euch zwei. Bißchen blöd, daß ich hier so dumm 'rumfrage, wir haben das mit der mod-Funktion (glaube ich) auch mal kurz am Ende der LinA I gemacht, von dem Stoff wußte ich aber, daß er nicht mehr klausurrelevant sein wird - und wie das dann so ist...
Man liest voneinander,
Gruß
Reb
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 16:20: |
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Bravo, an alle drei!
Das war wirklich konstruktive Teamarbeit: Rebekkas Randfächerformel, Juppys Testtabelle und Einschränkung auf 4 oder 8, und der zusammenfassende Beweis von Markus (und danke für die Blumen). Es wäre jetzt müßig, die einzelnen Beiträge zu gewichten - jeder hat einen wichtigen Baustein zur richtigen Lösung beigetragen.
Eure modulo-Diskussion ist sehr lehrreich!
Viele Grüße
sol@ti
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Markus (boothby81)
Moderator
Benutzername: boothby81
Nummer des Beitrags: 65
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 20:31: |
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@reb:
wer, wie, was?
wieso, weshalb, warum?
wer nicht fragt, bleibt dumm.
diese weisheit kennt dank sesamstraße jedes kind, mit dem älterwerden scheinen das aber einige zu vergessen.
gruß
markus |
Rebekka Malten (rebmalten)
Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 21:58: |
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...Du hast ja recht; es ist nur so, daß hier im Board viele Sachen gepostet werden/worden sind, die beeindrucken und bei denen man sich schon mal fragt, ob man dazu je in der Lage sein wird. Ich finde es toll (Mathe überhaupt ist toll!), trotzdem wird es bei mir wohl noch ein bißchen dauern mit den 'tollen' Beweisen...
Ich weiß aber, was Du meinst.
Reb
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