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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 18:43: | 
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Auf einer kleinen kreisrunden Insel gibt es drei Hafenorte Adorf, Behstett und Cehaven, die alle gleich weit voneinander entfernt sind. Außerdem ist irgendwo eine kleine Bootsanlegestelle, von der aus schnurgerade Wege zu den drei Orten führen. Am Wegweiser bei der Anlegestelle steht zu lesen: "Nach Adorf 5 km, nach Behstett 9 km, nach Cehaven noch weiter".
Wie groß ist denn diese Insel nun genau?
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Juppy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 19:39: |
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Hallo sol@ti,
hast du da noch eine Bedingung (Ganzzahligkeit?) vergessen?
Ich verstehe sonst die Frage nach der genauen Größe der Insel nicht, oder fragst du nach den Rändern des Bereichs: wie groß sie mindestens sein muss und wie groß sie höchstens sein darf?
Ich könnte dir mehrere Inseln nennen, die deine Anforderungen erfüllen, z.B. eine, die einen Durchmesser von rund 12,65 km (oder genau: 4*Ö10 km) hat, der Abstand der drei Orte ist dann jeweils 2*Ö30 km (rund 10.95 km) und die Bootsanlegestelle kann so hingelegt werden, dass sie von A, B und C so weit entfernt ist wie beschrieben.
Oder auch eine Insel mit einem Durchmesser von rund 62,9 km, bei der auch alle Bedingungen zutreffen. Exakte Zahlen wären hier ebenfalls angebbar.
Gruß
Juppy |
Markus (boothby81)
Moderator
Benutzername: boothby81
Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 22:40: |
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hallo.
ich kann deine einwände leider nicht nachvollziehen, juppy. bei einer insel mit 12,65 km durchmesser wären die orte zwar wie von dir angegeben 10,95 km voneinander entfernt, allerdings könnte man die bootsanlegestelle nicht so positionieren wie gefordert.
meiner meinung nach gibt es eine eindeutige lösung. leider kann ich keine exakten werte liefern, aber die insel müßte einen durchmesser von etwa 14,2 km haben, die orte hätten dann einen abstand von ca. 12,3 km.
gruß
markus |
Markus (boothby81)
Moderator
Benutzername: boothby81
Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 22:47: |
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achja, dein zweiter lösungsvorschlag scheidet schon von vornerein aus: bei einem inseldurchmesser von 62,9 km gibt es gar keinen punkt, der 5 km von adorf und 9 km von behstett entfernt ist.
ich nehme an, du hast dich bei der aufgabenstellung verlesen. |
Juppy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 01:05: |
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o Markus ich danke dir, du hast mich auf einen Fehler aufmerksam gemacht, den ich sonst bestimmt ne ganze Woche lang bereut hätte!
Ich habe mich nicht verlesen, ich habe nur während meiner Rechnung immer einen Summanden vergessen, deshalb meine Verwirrung mit den unmöglichen Inseldurchmessern.
Um so peinlicher, als diese Aufgabe von sol@ti endlich mal nicht zu schwer für mich gewesen wäre (wenn ich sie richtig in den Griff bekommen hätte).
Hier die Lösung, eigentlich geeignet für 10. Klasse:
Die drei Orte (kurz A,B,C) liegen auf den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks, das einen Umkreisradius d/2 hat.
M sei der Mittelpunkt des Umkreises, S der Ort der Bootsanlegestelle.
Der Winkel AMB ist doppelt so groß wie der Winkel ACB = 60°.
Der Winkel ASB muss sich mit diesem Winkel ACB zu 180° ergänzen, also ist Winkel ASB = 120°.
Dann gilt mit dem Kosinussatz:
|AB|² = |AS|² + |BS|² - 2|AS|*|BS|*cos120°
cos120° = -1/2, also
|AB|² = |AS|² + |BS|² + |AS|*|BS|
Der Abstand |AB| der Orte Adorf und Behstett voneinander ist also
|AB| = Ö(5² + 9² + 5*9) = Ö151
Für den Umkreisradius r dieses Dreiecks gilt:
r = |AB|/Ö3
also ist der Durchmesser der Insel
2*Ö(151/3) km
was etwa 14,189 km entspricht.
sol@ti: ich bitte um Vergebung wegen der Zweifel an der Vollständigkeit deiner Aufgabe.
mfG Juppy
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 16:32: |
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Bravo Juppy,
ja, das ist die eindeutige Lösung! Natürlich ist die nötige Mathematik Niveau 10.Klasse, aber ist das so schlimm? - Man muss doch erst mal drauf kommen! Zudem sind wir hier bei "Unterhaltungsmathematik". Und deinen Worte entnehme ich, dass du doch etwas Unterhaltung mit diesem Rätsel gehabt hast. Freut mich!
Also, danke für's Mitmachen (und danke Markus, dass du Juppy eine Woche ärgern erspart hast ;-)
sol@ti
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Rebekka Malten (rebmalten)
Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 19:03: |
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Ich hätte da noch eine Frage :
Sehe ich das richtig, daß S zwischen A und B an der 'Küste' liegt? Dann verstehe ich aber Juppy's Satz nicht: "Der Winkel ASB muß sich mit diesem Winkel ACB zu 180° ergänzen,..."
Ansonsten ist mir der Beweis klar - wenn ich obigen Satz glaube. Ich möchte ihn aber gerne verstehen...!
Kann mir das bitte noch kurz jemand erklären?
Wäre echt nett,
Reb
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Markus (boothby81)
Moderator
Benutzername: boothby81
Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 20:22: |
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hi rebekka.
hab an der stelle auch kurz gestutzt, weil juppy einfach so drüberweggegangen ist, aber is eigentlich klar: in nem sehnenviereck (hier ASBC) ergänzen sich zwei gegenüberliegende winkel immer zu 180°.
gruß
markus |
Rebekka Malten (rebmalten)
Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 21:05: |
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...jetzt ist alles klar!
Danke
Reb
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Juppy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 21:52: |
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Bitte um Entschuldigung, das habe ich ein zweites Mal getippt, weil Windows abge... ist (an dieser Stelle gehen schöne Grüße an Bill Gates und dass es die letzte Software aus seinem Hause gewesen ist, von der ich mich hier ver•••••en lasse)
Beim zweiten Mal habe ich vergessen, das mit dem Zentri-/Peripheriewinkelsatz davorzuschreiben.
sol@ti:
ich merke, du hast mich schon richtig verstanden.
Wenn es nicht unterhaltsam gewesen wäre, hätte ich mich nicht noch spät in der Nacht darangesetzt.
Glaube bitte nicht, dass ich andeuten wollte, dass ich diese Aufgabe lieber unter 10.Klasse Trigonometrie gefunden hätte. Gerade aber weil sie so leicht war, ist es mir doppelt so peinlich gewesen, dass ich sie überhaupt in Frage gestellt habe.
Du hast nämlich schon schwerere Aufgaben gehabt, bei denen ich nicht mal die daruntergesetzten Lösungen nachvollziehen konnte.
Gruß Juppy |
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