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Beitrag |
    
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Juli, 2002 - 17:38: | 
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Beim Aufräumen meiner Rätselwerkstatt fiel mir kürzlich das Fragment eines angefangenen aber nie vollendeten Rätsels in die Hände, bei dessen Lösung es offenbar um folgendes gehen sollte:
Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es natürliche Zahlen a,b,c, sodass n³ = a² - (b²+c²)/(bc+1)
(Also eine Kubikzahlendarstellung und Null muss offenbar zugelassen sein). Keine Ahnung, was ich da zusammenbasteln wollte. Ich glaube der Beweis war nicht all zu schwer. Aber auf die Schnelle sehe ich's jetzt nicht ...
Könnt ihr mir ein bisschen auf die Sprünge helfen, sonst muss dieses seltsame Resultat jämmerlich im Papierkorb enden!
sol@ti
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Juli, 2002 - 19:03: |
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Hi Sol@ti,
hier mal ein Weg, der irgendwie zur Lösung führen sollte, aber leider habe ich wenig Zeit (deswegen unvollständig). Werde es mir mal in Ruhe genauer anschauen müssen:
n³=a²-(b²+c²)/(bc+1)
<=>
n³(bc+1)=a²(bc+1)-(b²+c²)
<=>
n³(bc+1)=a²(bc+1)-(b+c)²+2bc
<=>
n³bc+n³=a²bc+2bc+a²-(b+c)²
<=>
bc(n³-a²-2)=a²-(b+c)²-n³
<=>
bc=[a²-(b+c)²-n³]/(n³-a²-2)
<=>
bc=-[n³-a²-2+2+(b+c)²]/(n³-a²-2)
<=>
bc=-1-[2+(b+c)²]/(n³-a²-2)
<=>
bc=-1+[2+(b+c)²]/(2+a²-n³)
Wir müssen also zeigen, dass es Zahlen b,c,a,n aus IN gibt, so dass
[2+(b+c)²]/(2+a²-n³) in IN liegt und
[2+(b+c)²]/(2+a²-n³)>=1.
Vielleicht ist es kein guter Ansatz. Aber vielleicht kann man es ja noch weiterdenken?
Gruß
Gast2 |
Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Juli, 2002 - 19:05: |
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Und die letzte Gleichung muß aber noch gelten, hab ich ganz übersehen. Wie wählt man nun a,b,c geschickt?
Gruß
Gast2 |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Juli, 2002 - 19:58: |
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Hallo Gast2,
das sind sehr geschickte Umformungen, vielleicht führt uns das in die richtige Richtung!
Ach übrigens, die Aussage hatte ich auf eine alte Zeitung notiert, und das darunter Hingekritzelte kann ich jetzt auch wieder entziffern: "Hierfür habe ich einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, aber der Rand ist zu schmal, ihn hier niederzuschreiben."
In diesem Sinne ;-)
sol@tti
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Gast2
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Juli, 2002 - 20:30: |
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;-)
Unser alter Fermat... |
Carmichael (carmichael)
Mitglied
Benutzername: carmichael
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Juli, 2002 - 04:04: |
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Hi,
n^3 = a^2 - (b^2+c^2)/(bc+1);
Mit (b^2+c^2)/(bc+1) sind alle Quadratzahlen darstellbar, denn:
(b^2+(b^3)^2)/(bb^3+1) = b^2;
also:
n^3 = a^2 - k^2 = (a+k)(a-k) ;
ist n ungerade , setze a = (n^3+1)/2 und k =(n^3-1)/2
ist n^3 gerade, dann ist n natürlich durch 4 teilbar; setze a = n^3/4 +1 und k = n^3/4 -1.
P.S. Ein großes Stück schwieriger ist zu zeigen, dass (b^2+c^2)/(bc+1) nur Quadratzahlen liefert.
Gruß, Carmichael
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Juli, 2002 - 15:14: |
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Super Carmichael,
vielen Dank für diesen Beweis und besonders auch für dein P.S. Das war's nämlich: Man braucht den sehr interessanten Beweis (dass der Bruch immer Quadratzahlen liefert) eben nicht für diese seltsame Darstellung, aber genau den wollte ich in ein Rätsel verpacken!
@Gast2: Du hast das Zitat erkannt, bravo! Ich fand es wegen dem Zeitungsrand so passend (Carmichaels Beweis hätte allerdings schon Platz gehabt!). Danke auch für deine Mithilfe.
Viele Grüße
sol@ti
P.S. (an alle entsetzten Deutschlehrer): Richtig wäre wohl "... wegen des Zeitungsrandes ...", aber der Dativ ist über kurz oder lang dem Genitiv sein Tod ;-)
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SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 537
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 00:00: |
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Hi Carmichael
Heißt Deine Aussage im P.S. "falls (b²+c²)/(bc+1) ganz ist, so ist es eine Quadratzahl", oder wie isr sie zu deuten?
viele Grüße
SpockGeiger |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 10:17: |
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Hallo, das ist eine alte Wettbewerbsaufgabe:
Seien a,b natürliche Zahlen, sodass (ab+1) Teiler von (a²+b²) ist. Zeige, dass (a²+b²)/(ab+1) eine Quadratzahl ist.
Die Aufgabe ist sehr schwer. Ich kenne den offiziellen Sieger-Beweis, bei dem am Schluss das Argument verwendet wird, dass es keine unendliche absteigende Folge von natürlichen Zahlen gibt, und daher der konstruierte iterative Prozess nach endlich vielen Schritten enden muss (wer den Beweis kennt, wird wissen was ich meine).
Anscheinend ist es aber niemand gelungen einen anderen (eigenständigen) Beweis zu finden - oder?
sol@ti
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SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 538
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 15:14: |
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Hi
Es tritt doch ein interessantes Muster zutage:
> b:=2:
> while true do
> for a from 1 to b-1 do if (a^2+b^2) mod (a*b+1)=0 then print(a,b,(a^2+b^2)/(a*b+1)) fi od: b:=b+1 od:
2, 8, 4
3, 27, 9
8, 30, 4
4, 64, 16
30, 112, 4
5, 125, 25
6, 216, 36
27, 240, 9
7, 343, 49
112, 418, 4
8, 512, 64
9, 729, 81
10, 1000, 100
64, 1020, 16
11, 1331, 121
418, 1560, 4
12, 1728, 144
240, 2133, 9
13, 2197, 169
14, 2744, 196
125, 3120, 25
15, 3375, 225
16, 4096, 256
17, 4913, 289
1560, 5822, 4
18, 5832, 324
viele Grüße
SpockGeiger |
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