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Beitrag |
    
Michael (Michael_Ender)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 16:35: | 
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Hallo!
Habe folgende Aufgabe zu lösen:
gegeben: f(x) = ax² + bx + c
bekannt: NS1 (-1/0), NS2 (2,5/0), P (-2/-1)
gesucht: f(x)
Lösung auf 2. Möglichkeiten
1. 3 Gleichungen sollen angeschrieben werden und dann soll das Gleichungssystem aufgelöst werden
2. Lösung mit Hilfe des Satzes v. Vieta
Bin euch für eure Hilfe sehr dankbar. Der Satz v. Vieta sagt mir leider (noch) gar nichts! Beim Gleichungssystem bin ich mir nicht sicher wie ich die Gleichungen auflösen kann.
Danke im voraus! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 23:14: |
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Drei Gleichungen mit den gegebenen Punkten:
G1: a*(-1 )^2 + b*(-1 ) + c = 0
G2: a*( 2.5)^2 + b*( 2.5) + c = 0
G3: a*(-2 )^2 + b*(-2 ) + c = -1
Vereinfachen, Gleichungssystem lösen, fertig.
Satz von Vieta:
ax^2+bx+c=0 hat Lösungen x1, x2.
Da es zwei Nullstellen gibt ist a nicht 0.
Es hat ax^2+bx+c die gleichen Nullstellen
wie x^2 * (b/a) * x - c/a, denn a ist ungleich 0.
Andererseits sind x1 und x2 die Nullstellen. Darum:
ax^2+bx+c = (x - x1)*(x - x2)
= x^2 + (-x1 - x2) * x + x1 * x2
Offensichtlich ist
x1+x2 = -b/a und x1*x2 = c/a
DAS ist der Satz von Vieta! Ein Beweis nebenbei.
Stellen wir mal fest, daß Vieta auch nichts wirklich neues aussagt.
Wie kann man Vieta nun gewinnbringend einsetzen?
Mit x1=-1 und x2=2.5
=> x1+x2=-1+2.5= 1.5=-b/a
und x1*x2=-1*2.5=-2.5= c/a
=> 1.5a=-b
und -2.5a= c
=> b = -1.5a (*)
und c = -2.5b (*)
und nun noch eine andere Gleichung bitte:
G3: a*(-2 )^2 + b*(-2 ) + c = -1
<=> 4a - 2b +c = -1
Nun in G3 die beiden Gleichungen (*) für b und c einsetzen und schon ist a bekannt.
Ich finde der Satz von Vieta ist eine unnötige Variation eines alten Themas.
Gruß
Matroid |
Björn
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 10:16: |
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Hallo
Soll erklären warum Satz des Vieta funktioniert.
Blicke leider noch nicht durch. Wäre für Hilfe sehr dankbar |
Niels
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. März, 2001 - 18:54: |
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Hallo Björn,
suchst du eine Herleitung für den Satz des Vieta?
Ich hätte da eine im Angebot.
Bei imterresse bitte nochmsl melden.
Gruß N. |
mmm
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 14:31: |
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Ja Interesse beteht! Falls das Angebot noch gilt...
M f G |
Niels (niels2)
Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 17:26: |
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Hi mmm,
natürlich gilt mein Angebot noch!
Angenommen x1 und xß-{2} seien 2 voneinander verschiedene Nullstellen der Gleichung x²+px+q=0
dann gilt:
x1²+p*x1+q=0
x2²+p*x2+q=0
Aus den beiden Gleichungen folgt:
x1²-x2²+p*(x1-x2)=0
(x1+x2)*(x1-x2)+p*(x1-x2)=0
(x1-x2)*[(x1+x2)+p]=0
Da x1 und x2 voneinander verschieden sein sollen kann (x1-x2) nicht Null sein!
(x1+x2)+p=0
(x1+x2)=-p oder p=-(x1+x2)
Setzen wir das Ergebnis wieder ein erhalten wir:
x1²-(x1+x2)*x1+q=0
-x1*x2+q=0
oder q=x1*x2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Das ist der Satz v. Vieta!
Gruß N.
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M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Juni, 2002 - 17:36: |
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Es seien a und b zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung. Dann gilt:
(x-a)*(x-b)=0
<->
x²-ax-bx+ab=0
<->
x²-(a+b)x+ab=0
Hast du nun eine Gleichung folgender Form vor dir stehen:
x²+5x+6=0, so setzt du
i) -(a+b)=5 und
ii) ab=6
Für a=-2 und b=-3 sind i) und ii) erfüllt.
Also gilt die Gleichung für x=-2 oder x=-3.
Allgemeine Formel für quadratische Gleichnungen:
Sei x²+px+q=0 (*)
Zunächst gilt nach der bin. Formel:
[x+(p/2)]²=x²+px+(p²/4)
<->
x²+px=[x+(p/2)]²-(p²/4)
=> in (*)
[x+(p/2)]²-(p²/4)+q=0
<->
[x+(p/2)]²=(p²/4)-q
<->
x1+(p/2)=-Wurzel((p²/4)-q)
x2+(p/2)=Wurzel((p²/4)-q)
=>
x1=-(p/2)-Wurzel((p²/4)-q)
x2=-(p/2)+Wurzel((p²/4)-q)
Ist (p²/4)-q>=0, so existieren die reellen Lösungen x1 und x2. Andernfalls existieren keine reellen Lösungen x1 und x2!
Mit freundlichen Grüssen
M. |
bert
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juni, 2002 - 00:03: |
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Kann jmd. auch den/die allgm. Sätze von Vieta herleiten?
cu |
bert
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juni, 2002 - 00:05: |
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Kann jmd. auch den/die allgm. Sätze von Vieta herleiten?
(Das war der Satz von Vieta quad. Gleichungen)
cu |
M.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juni, 2002 - 01:06: |
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Ich kann dir morgen eine Herleitung abschreiben für kubische Gleichungen (heißt das so?). Die behalte ich aber nie auswendig, da muß man einiges an Ideen haben, soweit ich das in Erinnerung habe.
Mit freundlichen Grüssen
M. |
Niels (niels2)
Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 43
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juni, 2002 - 07:55: |
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Hi bert,
über den Satz des Vieta für quadratische Gleichungen lassen sich auch die Sätze v. Vieta für alle anderen Gleichungsgrade rekursiv ermitteln.
Oder du multiplizierst wie M die Linearfaktoren aus.
Es ist nicht möglich alle Formeln des Vietischen Wurzelsatzes zu ermitteln sondern eben halt nur für festgelegte Grade.
Allerdings gibt es einige "Bildungsvorschriften" die man auch allgemein feststellen kann.
Pn(x)=xn+an-1xn-1+an-2xn-2+an-3xn-3+...+a2x2+a1x+a0=0
dann gilt:
-an-1=x1+x2+...+xn
an-2=x1*x2+x1*x3+x2*x3+...+xn-1*xn
-an-3=x1*x2*x3+x1*x2*x4+...+xn-2*xn-1*xn
(-1)n*a0=x1*x2*x3*...*xn
Gruß N. |
bert
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Juni, 2002 - 23:15: |
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Wow!
Ich glaube genau das ist mein Probl.: mir das Ausmultiplizieren vorzustellen. Also das Ausmultplizieren von:
(x-x1)(x2-x1)...(x-xn)
Wäre sicher zuviel verlangt Dich darum zu bitten.
Evtl. könntest Du ja einen dieser Vieta´schen Sätze (ausführlich) herleiten. Den Rest müßte ich mir eigentl. damit folgern können
Vielen Dank im Voraus
M f G
Bert
PS: Ich muß gleich dazu sagen ich hab den binom. Satz noch nicht so recht verstanden; bzw. die binom. Reihe.
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