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Beitrag |
    
Hasilein (Hasilein)
Junior Mitglied
Benutzername: Hasilein
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2008 - 16:27: | 
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Hallo,
brauche Hilfe bei einem Teil einer Aufgabe:
Zeigen Sie, dass für alle n aus IN mit n>=2 gilt:
[1+1/(n-1)]^(n-1)<(1+1/n)^n < 3
(Nutzen Sie für die erste Ungleichung die Ungleichung von Bernoulli)
Den zweiten Teil der Aufgabe habe ich bereits gezeigt. Allerdings hänge ich bei den Beweis für
[1+1/(n-1)]^(n-1)<(1+1/n)^n
Ich weiß, die Ungleichung von Bernoulli besagt:
(1+x)^n >= 1+nx für -1<x,n aus IN.
Ich habe einfach gedacht ich wende das mal auf die Ungleichung an und habe x=1/n gesetzt. Das darf ich ja, da 1/n immer größer als 0 ist und somit die Bedingung für x erfüllt ist. Allerdings kam ich nur auf den Schluss, dass
(1+1/n)^n >= 2
Wie ich nun allerdings weiter verfahren soll ist mir ein Rätsel. Ich habe danach versucht durch Induktion zu zeigen, dass [1+1/(n-1)]^(n-1)< 2 für alle n >= 2 ist.
Allerdings bin ich beim Induktionsschritt gescheitert. Entweder lag das an einen Fehler von mir, oder es geht nicht so.
Über Hilfestellungen jeglicher Art wäre ich dankbar. |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. November, 2008 - 15:29: |
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Hallo,
zu zeigen, dass [1+1/n]^n < 2 (oder mit n-1) kann nicht gelingen, da die Folge gegen e = 2,718... konvergiert.
Viel Schlaues fällt mir spontan auch nicht ein, vielleicht kann man (1+1/n)^n zerlegen in (1+1/n)^(n-1) * (1+1/n) und
1+1/n = (n+1)/n ; 1+1/(n-1) = n/(n-1)
Da die Bernoulli-Ungleichung eine Abschätzung nach unten macht, ist sie für eine Abschätzung nach oben (<3) vermutlich nicht zu gebrauchen.
Viele Grüße und viel Erfolg
Dörrby |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1308
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2008 - 21:07: |
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Falls Du noch eine Lösung brauchst: Probier doch mal den Quotienten an/an-1 mit an:=(1+1/n)n nach oben abzuschätzen (nach geeigneter Umformung). |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 3323
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2008 - 14:21: |
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[1+1/(n-1)]^(n-1)<(1+1/n)^n
bedeutet
ja auch, zu zeigen, daß
(1+1/n)^n streng monoton steigend ist
was
leicht zu sehen ist wenn man sich
die 1ten paar Glieder der Binomialentwicklunt
betrachtet.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Polya]
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Marco1 (Marco1)
Mitglied
Benutzername: Marco1
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 09-2008
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Januar, 2009 - 11:55: |
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was ist denn die Ungleichung von Bernoulli ,
und wieso die Anwendung für Ungleichungen ?
VG |
Clem (Clem)
Neues Mitglied
Benutzername: Clem
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2009
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. November, 2009 - 17:33: |
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Grüß euch! 
Ich hätte da die Aufgabe:
Zeige, dass in einem geordneten Körper aus b,d > 0 folgt, dass
a/b<c/d = aqivalent ist mit ad<bc,
wobei man hier nicht einfach kreuzweise multiplizieren darf sondern die Behauptung schrittweise aus den Körperaxiomen herleiten soll.
Nur, wie macht man das??
Kann mir dabei jemand helfen? }}} |
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