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mathi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Dezember, 2007 - 18:10: | 
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Hallo Mathematiker,
ich möchte folgende Augabe lösen:
"Folgen und Reihen in der Finanzmathematik
Im Folgenden gelten die Bezeichnungen: n Anzahl der Zeiteinheiten (i.a. Jahre), K0
Anfangskapital, Kn Kapital nach n Zeiteinheiten, p Zinsfu (in %), d = p/100 Zinssatz,
q = 1 + d Aufzinsungsfaktor, Zn Zinsen nach n Zeiteinheiten.
Die Berechnung des Kapitals Kn unter Berücksichtigung nachschüssiger Zinseszinsen
(Verzinsung jeweils am Ende der Zeiteinheit) erfolgt dann durch die wahrscheinlich noch
aus der Schule bekannte Formel Kn = K0qn
Aufgabe:
Zur Einstimmung die folgende Geschichte: Die Eltern eines Kindes richten bei dessen
Geburt ein Konto mit einem Grundkapital von 5000 Euro ein. Sie zahlen bis zu seinem 18.
Geburtstag jährlich weitere 1000 Euro ein. Das Geld wird mit jährlich 5% verzinst. Von
den Ersparnissen verbraucht das inzwischen erwachsene Kind nach seinem 18. Geburtstag
monatlich 300 Euro. Wann ist das Geld verbraucht?
i) Stelle fur diese Situation zwei Formeln auf: Eine "Sparerformel" fur die Entwicklung
des Kapitals in der ersten Phase, eine "Rentnerformel" fur die zweite. Benutze die Bezeichnungen
von oben, die jahrliche Einzahlung bzw. Auszahlung heisse R.
ii) Lose das Problem der Einstimmungsgeschichte.
iii) Stelle eine Formel fur die jahrliche Tilgungsrate auf: Jemand nimmt eine Anleihe K0
auf bei einer Verzinsung von p %; wie gro ist die Tilgungsrate R , wenn in n Jahren alles
abbezahlt sein soll?
iv) Leite jede der Formeln her."
Habe mit der Sparerformel begonnen und folgende aufgestellt:
Kn= Ko * q^n + R(q^n + q^(n-1) + q^(n-2) + ... + q^(n-n))
wobei R die jährliche Einzahlung von 1000€ ist. Leider weiß ich nicht, wie ich die Formel noch vereinfachen kann, außer die letze Klammer als Summenformel aufzuschreiben. Dies nützt einem aber beim ausrechnen für das Kapital nach 18Jahren bei 5% jährlichem Zins und 1000€ jährlicher Einzahlung wenig.
Hat jemand eine Idee, wie man sich es noch vereinfachen kann?
Auch über Tipps zur "Rentnerformel" und zur Aufgabe iii) wäre ich dankbar
Liebe Grüße
mathi |
Filipiak (Filipiak)
Senior Mitglied
Benutzername: Filipiak
Nummer des Beitrags: 717
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2007 - 15:43: |
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Hallo mathi,
Ansatz:
5.000+1,05^{18} + 1.000*(1,05^{18} -1)/(0,05) = K_n
K_n * 1,05^n - 300[12+(0,05/2)] *(1,05^n -1)/(0,05) = 0
Viele Grüße
Josef
Viele Grüße
Filipiak
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mathi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2007 - 16:31: |
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Hallo Josef,
ich verstehe nicht, was du da gemacht hast... Kannst du es mir erklären? |
Filipiak (Filipiak)
Senior Mitglied
Benutzername: Filipiak
Nummer des Beitrags: 718
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2007 - 16:46: |
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Zuerst ist die Sparkassenformel anzuwenden:
5.000*1.0518 + 1.000*(1,0518-1)/0,05 = Kn
Jetzt hast du das Kapital nach 18 Jahren.
Viele Grüße
Josef
Viele Grüße
Filipiak
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Filipiak (Filipiak)
Senior Mitglied
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2007 - 17:02: |
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Hallo mathi,
dieses Kapital nach 18 Jahren (Kn wird für n Jahre noch mit 5 % (= 1,05)verzinst.
Gleichzeitig werden monatlich 300 Euro abgehoben.
300*[12+(0,05/2)*11]*(1,05n -1)/0,05 = 0
Dies ist die monatliche Rentenformel für unterjährige einfache Verzinsung.
Viele Grüße
Josef
Viele Grüße
Filipiak
Alle Angaben ohne Gewähr auf Richtigkeit!
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mathi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Dezember, 2007 - 20:25: |
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Ist meine Formel, die im ersten Beitrag steht falsch? |
Filipiak (Filipiak)
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Benutzername: Filipiak
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Dezember, 2007 - 07:10: |
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Hallo mathi,
die Sparkassenformel lautet für nachschüssige Einzahlungen:
Kn = K0*qn + R*(qn -1)/(q-1)
Viele Grüße
Filipiak
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Mythos2002 (Mythos2002)
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Dezember, 2007 - 19:23: |
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Mit "Sparkassenformeln" ist dies so eine Sache. Die Formeln einfach hinknallen, ohne dass der Anwender den Sinn dahinter erkennt, ist kontraproduktiv. Es gibt unzählige von solchen Formeln und wer weiss schon, welche davon jeweils anzuwenden sind. Das Einsetzen darin ohne Kenntnisse der Hintergründe ist schlicht und einfach fahrlässig. Überdies steht sogar explizit in der Angabe, dass die Formeln herzuleiten sind.
Bei Renten- bzw. Zinsenrechnungen ist es sinnvoll, ein bestimmtes Vorgehen einzuhalten:
1. Aufstellen der Zeitlinie
2. Eintragen aller Zeiten und Beträge
3. Wahl des Zeit-Bezugspunktes
4. Summierung der Reihen
Beträge VOR dem Zeitbezugspunkt (sie liegen in der Vergangenheit) werden mit den Potenzen des Aufzinsungsfaktors q = 1 + i (i = p/100) aufgezinst (in die Zukunft bezogen, mit den Potenzen des Aufzinsungsfaktors multipliziert), solche NACH dem Zeitbezugspunkt (liegen in der Zukunft) mit diesen abgezinst (in die Vergangenheit bezogen, durch die Potenzen von q dividiert).
Die bereits auf den Zeitbezugspunkt bezogenen Beträge bilden eine geometrische Reihe, die nach deren Summenformel zusammengefasst werden.
Mittels dieses Gerüsts sind auch komplexere Zusammenhänge, wie Ein- und Auszahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten leicht in den Griff zu bekommen.
Somit kann beim Abtragen (Tilgung) einer Schuld K0 ganz einfach die Rate R bei p% (sinnvollerweise nachschüssig bei Tigungsraten) berechnet werden:
Gegeben: K0, n, p
Gesucht: R
Zeitbezugspunkt (z.B.) am Anfang der Zeitlinie, K0 ist der Barwert aller n ausbezahlten Jahresraten R.
K0 = R/q + R/q^2 + .... + R/q^n
Wir haben nun rechts eine geometrische Reihe mit n Gliedern, dem Anfangsglied R/q^n und dem Quotienten q stehen! Dann ist
K0 = R/q^n * (q^n - 1)/(q - 1)
nun ist es leicht, daraus R zu ermitteln, und dies sogar ganz ohne kryptische "Sparkassenformeln"!
mY+ |
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