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Hasilein (Hasilein)
Junior Mitglied
Benutzername: Hasilein
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2007 - 18:05: | 
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Hallo,
ich benötige bei foldender Fragestellung dringend Hilfe:
Beweisen Sie:
Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Tipp:
Zeigen Sie zunächst, dass folgende Differenz durch 9 teilbar ist, und wenden Sie dann die Summen-/Differenzregel der Teilbarkeit an:
[10^n*a(n)+10^(n-1)*a(n-1)+...+10*a(1)+a(0)]-[a(n)+a(n-1)+...+a(1)+a(0)]
Ich habe bereits einen Ansatz dazu:
Zunächst habe ich ausprobiert, ob die Differenz wirklich für ein paar Beispiele durch 9 teilbar ist. Danach habe ich einfach mal angesetzt:
9/[10^n*a(n)+10^(n-1)*a(n-1)+...+10*a(1)+a(0)]-[a(n)+a(n-1)+...+a(1)+a(0)]
Durch Umstellen und ausklammern kam ich dann auf folgende Aussage:
9/a(n)*[10^n-1]+a(n-1)*[10^(n-1)-1]+...+a(1)*[10-1]+0 (1)
Ich habe danach festgestellt, dass die Ausdrücke in den Klammern mit den 10-ner Potzenzen immer eine Zahl ergeben, die aus lauter 9-ern besteht. Also z.B.
10-1 = 9
100-1 = 99
1000-1 = 999
....
Also gilt für die Differenz 10^n-1:
10^n-1 = 9*10^(n-1)+9*10^(n-2)+...+9*10+9
Ich habe dann daraus geschlossen, dass alle Summanden in (1) durch 9 teilbar sind, und dies somit auf die gesamte Aussage zutrifft.
Allerdings komme ich jetzt nicht weiter. Wie kann ich von diesem Beweis drauf kommen, dass eine Zahl genau dann durch 9 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist?
Bin für jede Hilfe dankbar. |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2007 - 20:26: |
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Hallo Hasilein,
du bist schon fast fertig. Die Tatsache, dass bei der Differenz, die ihr zuerst betrachten sollt (Originalzahl minus Quersumme), immer eine durch 9 teilbare Zahl herauskommt, bedeutet, dass die Original-Zahl und die Quersumme bei Teilung durch 9 immer den gleichen Rest lassen, d.h.:
Ist der Rest bei der Quersumme ¹0, dann ist er es auch bei der Zahl,
ist er =0, dann ist er es auch bei der Zahl.
Gruß Dörrby |
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