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Restklassenkörper modulo p

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Eva191105 (Eva191105)
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Mitglied
Benutzername: Eva191105

Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2006 - 20:22:   Beitrag drucken

Hallo!
Ich habe einige Probleme beim Lösen dieser Aufgabe, finde nicht wirklich einen Zugang. Könnt ihr mir helfen?

Im folgenden bezeichnet == das Kongruentzeichen.
Es sei p eine Primzahl, F:=Z/pZ (Restklassenkörper modulo p); F[X] bezeichne den Polynomring in einer Unbestimmten über dem Körper F.
a) Durch Grad- und Nullstellenvergleich zeige man, dass in F(X) gelten: X^(p-1)-1=(X+!)(X+2)...+(X+(p-1)), (X+1)^p-(X+1)=X^p-X.
b) Aus der ersten Relation in a) folgere man den Satz von Wilson, aus der zweiten die Gültigkeit von (p über j)==mod p für 1<=j<=p-1
c) Zeige: Für m,n aus IN mit ggT(m,p)=1 und für k aus IN_0 mit 0<=k<=m gilt ((mp^n) über (kp^n))==(m über k) mod p. (Hinweis: Warum ist (x+1)^((p^n)m=(X^(p^n)+1)^m in F[X]?)
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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1555
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2006 - 21:26:   Beitrag drucken

a)

X^(p-1)-1=(X+1)(X+2)...+(X+(p-1))

in F gilt:
-p+1 = 1
-p+2 = 2
...
-p+k = k

z.B. p = 2
X^1 - 1 = (X+1) = (X-1)
fertig

z.B. p = 3
X^2 - 1 = (X+1)(X+2) = (X+1)(X-1)
fertig

z.B. p = 5
X^4 - 1 = (X+1)(X+2)(X+3)(X+4) = (X+1)(X+2)(X-2)(X-1) = (X^2-1)(X^2-4) = (X^2-1)(X^2+1) = X^4-1
fertig

z.B. p = 7
X^6 - 1 = (X+1)(X+2)(X+3)(X+4)(X+5)(X+6) = (X+1)(X+2)(X+3)(X-3)(X-2)(X-1) = (X^2-1)(X^2-4)(X^2-9) = (X^2-1)(X^2+3)(X^2-2) =
(X^4-X^2+3X^2-3)(X^2-2) = (X^4+2X^2-3)(X^2-2) =
X^6+2X^4-3X^2-2X^4-4X^2+6 = X^6-7X^2+6 = X^6-1
fertig

das allgemein zu zeigen würd mich jetzt auch interessieren ...
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Eva191105 (Eva191105)
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Benutzername: Eva191105

Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2006 - 19:57:   Beitrag drucken

Ähm, danke für die Antwort. Aber Hilfe, ich versteh ja gar nichts.
Wieso ist das alles gleich? X ist doch keine Primzahl, also warum sollen die Regeln auch für X gelten? Und auch wenn die gelten, wieso wird dann aus (X+1) einfach (X-1) bzw. aus (X+1)(X+2) wird (X+1)(X-1)???
Die Lösung werd ich natürlich gerne posten, sobald ich sie vorgerechnet bekommen habe. Bis morgen früh werde ich von dieser Aufgabe wohl kaum noch etwas beweisen können, so schade das ist... :-(
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1556
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2006 - 20:14:   Beitrag drucken

sie gelten eh für X nicht, aber
X+p = X, weil ja X und X+p im Restklassenkörper Z/pZ
der selben Restklasse angehören;
analoges gilt für
X+p-1 = X-1
X+p-2 = X-2
X+p-3 = X-3
...
X+p-k = X-k
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 2048
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Mai, 2006 - 18:04:   Beitrag drucken

Hallo Eva

Beim ersten Teil von a) musst du einfach den kleinen Satz von Fermat anwenden. Ich mache mal beim zweiten Teil vor wie es dann weiter geht.

Zweiter Teil:
(X+1)p-(X+1)=(X+1)((X+1)p-1-1)

Nach Fermat gilt (X+1)p-1-1=0 für alle X aus {0,...,p-2}.
Also hat das Polynom die Nullstellen 0,1,...,p-1.


Xp-X=X*(Xp-1-1) hat nach dem Fermat-Satz die gleichen Nullstellen.

Da auch der Grad der beiden Polynome übereinstimmt, müssen sie gleich sein!

b)
Satz von Wilson:
p prim <=> (p-1)! º-1(mod p)

"<=": Angenommen p=ab wäre eine zusammengesetzte Zahl, das heißt a>1, b>1.
Dann teilt a auf jeden Fall (p-1)! und damit nicht
(p-1)!+1. Also teilt auch p nicht (p-1)!+1. Widerspruch, also ist p prim.

"=>": Setze in der ersten Gleichung aus a) X=0. Es folgt (p-1)! º -1(mod p)

Soweit erstmal.

MfG
Christian

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