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Gingeralien (Gingeralien)
Junior Mitglied
Benutzername: Gingeralien
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Mai, 2006 - 21:59: | 
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Hallo,
es geht darum zu zeigen, daß die 2. Ableitung einer Funktion bei drei gegebenen Punkten x1, x und x2 mit x1 < x < x2 (und a=|x-x1|, b=|x-x2|) folgendermaßen angenähert werden kann:
f"(x) = f(x1)/(a(a+b)) + f(x2)/(b(a+b)) - f(x)/(a*b)
Ich habe es mit zwei Taylorentwicklungen um f(x1) und f(x2) versucht, komme aber nicht ganz auf die obige Formel:
1. f(x1) = f(x) - f'(x)*a + f"(x)*aÜ/2 + ...
2. f(x2) = f(x) + f'(x)*b + f"(x)*bÜ/2 + ...
1. nach f'(x) auflösen:
f'(x) = -f(x1)/a + f(x)/a + f"(x)*a/2
und in 2. einsetzen:
f(x2) = f(x) - f(x1)*b/a + f(x)*b/a + f"(x)*b*a/2 + f"(x)*bÜ/2
= f(x)*(1+b/a) -f(x1)*b/a + f"(x)*((a*b+bÜ)/2)
nach f"(x) auflösen:
f"(x) = 2*( f(x2) + f(x1)*b/a - f(x)*(1+(b/a)) )/(a*b+bÜ)
= 2*f(x2)/(a*b+bÜ) + 2*f(x1)/(a*(a+b)) - 2*f(x)*(1+(b/a))/(a*b+bÜ)
= 2*f(x1)/(a*(a+b)) + 2*f(x2)/(b(a+b)) - 2*f(x)*(1+(b/a))/(a*b+bÜ)
vielleicht habe ich irgendwo einen Fehler gemacht oder es fehlt noch eine Umformung? |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1537
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Mai, 2006 - 22:19: |
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jetzt mal sehr stark angenähert:
f''(x) = (f'(x2) - f'(x1))/(a+b)
f'(x2) = (-f(x) + f(x2))/a
f'(x1) = (-f(x1) + f(x))/b
eingesetzt
f''(x) = ((-f(x) + f(x2))/a - (-f(x1) + f(x))/b)/(a+b)
= -f(x)/(a(a+b)) + f(x2)/(a(a+b)) + f(x1)/(b(a+b)) - f(x)/(b(a+b))
= -b*f(x)/(ab(a+b)) - a*f(x)/(ab(a+b)) + f(x2)/(a(a+b)) + f(x1)/(b(a+b))
= -(a+b)f(x)/(ab(a+b))+ f(x2)/(a(a+b)) + f(x1)/(b(a+b))
= -f(x)/(ab) + f(x2)/(a(a+b)) + f(x1)/(b(a+b))
voila, thats it
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Gingeralien (Gingeralien)
Junior Mitglied
Benutzername: Gingeralien
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Mai, 2006 - 13:15: |
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Danke, wie ich sehe, hast Du es einfach mit dem Mittelwertsatz gelÜst. Ich komme auf das gleiche Ergebnis (nur bei f'(x2) = (-f(x) + f(x2))/b und
f'(x1) = (-f(x1) + f(x))/a ist, glaube ich, in Deinem Ansatz a und b vertauscht). Vielen Dank nochmal! |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1548
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Mai, 2006 - 23:10: |
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ja stimmt, a und b gehören vertauscht; hat mich etwas verwirrt 
wobei ich dachte einfach an Sekantensteigung, weniger an Mittelwertsatz 
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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