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Beitrag |
    
Katrin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2006 - 17:16: | 
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Hallo zusammen, meine Aufgabe sah so aus:
Nun habe ich nach stundenlangem Kramen in meinen alten Schulunterlagen auch wieder ein bisschen Zeug gefunden, aber ich habe das Problem, dass meine Lösungen nicht ganz mit der Darstellungsform an der Uni konform sind.
In der Schule hatte ich als Hessesche Normalenform dies:
E: (x-a)*n0=0, wobei x und a Vekoren sind.
In dieser Form hätte ich nun als Lösungen für E1 und E2 dies:
E1:[x-(1 1 0)]*((1/3)/sqrt(11/9) (1/3)/sqrt(11/9) (-1)/sqrt(11/9))=0
(Sorry, ich weiß nicht, wie ich das mit der Formatierung hier hinbekommen soll. Der Normalenvektor ist (1/3 1/3 -1) und n0 dann alles drei jeweils geteilt durch die Wurzel aus 11/9. Stimmt das bis dahin? Und wie kriege ich das dann in die Formel aus der Aufgabenstellung?
Bei E2 habe ich raus [x-(0 0 0)]*(2/sqrt6 1/sqrt6 1/sqrt6)=0, stimmt das auch? Und kann ich da den Ursprung (0 0 0) weglassen?
Wäre wirklich super, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich das in die andere Form bekomme, dann könnte ich auch weiterrechnen.
Danke!
Katrin |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1801
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Mai, 2006 - 09:50: |
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Hallo!
Wenn du deine Gleichung
(X - a)*n0 = 0
etwas umstellst, und statt a (d. i. ein fester Punkt der Ebene) X0 setzst, bekommst du sofort
X*n0 = x0*n
Der rechte Term ist eine Konstante (c0). Weiters folgt daraus
X*n0 - c0 = 0 .. HNF
c0 ist nichts anderes als die durch |n| dividierte Konstante der ursprünglichen Ebenengleichung, c0 = c/|n|. Ausgehend von der ursprünglichen Gleichung
X*n - c = 0
erhielten wir die HNF bekanntlich durch Division durch den Betrag von n (Normierung von n):
X*(n/|n|) - c/|n| = 0
-->
X*n0 - c/|n| = 0
X*n0 - c0 = 0
------------------------------------
Für die Lösung der Aufgabe muss E1 von der Parameterform erst in die Normalvektorform übergeführt werden. Dazu ermitteln wir den Normalvektor aus den beiden gegebenen Richtungsvektoren mittels des Vektorproduktes:
| 0 3 i |
| 3 0 j |
| 1 1 k | = (3;3;-9)
Die Richtungsvektoren wurden zuerst entsprechend erweitert; i, j, k sind die Einheitsvektoren auf den Koordinatenachsen,
| .. |
| .. |
| .. |
stellt eine Determinante dar; das Vektorprodukt kann noch gekürzt werden, sodass
n = (1;1;-3)
Nun wird die Parameterform von E1 mit diesem n skalar multipliziert: Dabei werden die Produkte mit den Richtungsvektoren zu Null, weil jene zu n orthogonal sind.
Somit lautet die Normalvektorform von E1:
(1;1;3).X = (1;1;0).(1;1;-3)
[entspricht: X.n = X0.n]
Der Vektor X wurde deswegen mit einem Großbuchstaben bezeichnet, um ihn von seinen Koordinaten (x;y;z) zu unterscheiden!
weiter:
(1;1;3)*X = 2
bzw.
x + y + 3z - 2 = 0
Dies ist aber noch nicht die HNF, sondern erst die Normalvektorform. Für die HNF sind beide Seiten noch durch den Betrag des Normalvektors, eben durch |n| zu dividieren.
|n| = |(1;1;3)| = sqrt(11)
(x + y + 3z - 2)/sqrt(11) = 0
x/sqrt(11) + y/sqrt(11) + 3z/sqrt(11) - 2/sqrt(11) = 0
----------------
Auch dein Normalvektor stimmt (du könntest ihn eben noch mit 3 erweitern, spr. verlängern) und auch n0 ist richtig.
sqrt(11/9) ist allerdings noch einfacher: sqrt(11)/3
----------------
E2: 2x + y + z = 0,
diese Ebene geht durch den Ursprung.
Deren HNF:
(2x + y + z)/sqrt(6) = 0
bzw.
2x/sqrt(6) + y/sqrt(6) + z/sqrt(6) = 0
Der Nullvektor kann weggelasssen werden, nicht der Nullpunkt, denn dieser ist ja Bestandteil der Ebene.
----------------
ii.
Der Winkel der beiden Ebenen ist der Winkel ihrer Normalvektoren.
----------------
iii.
Den Abstand d des Punktes von E1 erhalten wir, indem wir in der (auf 0 gebrachten!) HNF statt x,y,z die Koordinaten des Punktes einsetzen!
[Kontr.: d = 8/sqrt(11)]
Gr
mYthos |
Katrin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Mai, 2006 - 12:45: |
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Hallo!
Erst mal vielen, vielen Dank für deine Mühe! Ich habe aber noch mal eine dringende Frage: Ich habe heute mit einem Freund verglichen und der hat bei der (iii) das gleiche Ergebnis wie du. Der einzige Unterschied zwischen unseren beiden Rechnungen war aber, dass er, genau wie du, als Normalenvektor der ersten Ebene (1, 1, -3) verwendet hat. Ich hatte den ja ausgerechnet als (1/3 1/3 -1), was ja prinzipiell das gleiche ist. Aber ich komme, wenn ich mit dem weiterrechne, nicht auf die gleiche Lösung wie er und auch unser Winkel in (ii) ist unterschiedlich. Wieso muss ich die Form (1, 1, -3) benutzen? Wäre super, wenn das noch mal einer erklären könnte!
Danke, Katrin |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1803
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Mai, 2006 - 00:42: |
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Hi,
mit dem verkürzten Vektor muss sich selbstverständlich der gleiche Winkel ergeben!
Wenn die Koordinaten des Vektors alle auf ein Drittel verkürzt werden, dann wirkt sich dies gleichermaßen auch auf seinen Betrag aus, d.h. der Vektor ist nicht sqrt(11) lang, sondern (1/3)*sqrt(11). In der Formel
cos(phi) = (a.b)/(|a|*|b|)
erscheinen dann die 3 im Zähler UND im Nenner und kürzen sich daher, und es bleibt der Wert von cos(phi) unverändert.
Wahrscheinlich hast du beim Doppelbruch irgendwo die 3 vergessen oder nicht richtig verarbeitet ... .
Gr
mYthos+
(Beitrag nachträglich am 05., Mai. 2006 von mythos2002 editiert) |
Katrin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Mai, 2006 - 13:09: |
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Hm, dann lag irgendwo anders der Fehler. Na wie auch immer, vielen Dank noch mal!
Grüße, Katrin |
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