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Beitrag |
    
Nina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. April, 2006 - 20:54: | 
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Hallo zusammen,
ich hatte heute die erste Vorlesung in Mathe II. Der Prof fing an mit einer "Wiederholung" des letzten Semesters und begann, von Taylor-Reihen zu erzählen. Problem ist nur, dass wir die im letzten Semester gar nicht mehr hatten (da war der Prof auch noch ein anderer...).
Jetzt haben wir die erste Übung bekommen. Ich muss sie zwar erst Freitag in einer Woche abgeben, aber dafür muss ich sie bis dahin haben, da ich nur über die Hausübungen die nötigen Punkte bekommen kann. Gibt es irgendwo im Netz vielleicht ähnliche Aufgaben, an denen ich mich orientieren kann? Ich habe wirklich überhaupt keine Ahnung, wie ich überhaupt an so eine Aufgabe herangehen soll :-(. Bin aber gerne bereit, mich an die "Hand" nehmen zu lassen, wenn mir jemand Schritt für Schritt erklären kann, was ich machen muss.
Die Aufgabe:
Berechnen Sie das Taylor-Polynom T3(x, 1) zu f: IR+ -> IR, f(x)=x(x-lnx). Berechnen Sie ebenfalls T3(2/3, 1) und schätzen Sie den zugehörigen Fehler ab.
Vielen Dank schon mal für jede Hilfe! |
Nina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. April, 2006 - 22:19: |
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OK, ich bin mittlerweile ein bisschen weiter fortgeschritten, kann das jemand bitte kontrollieren?
Für T3(x,1) habe ich raus T3(x,1)=x+((x-1)^3/6). Stimmt das?? Wäre sehr cool, wenn ;-). Und muss ich dann für T3(2/3,1) einfach statt des x die 2/3 einsetzen? Da käme dann 107/162 raus?
Wie ich das mit dem Fehler berechne, habe ich allerdings noch nicht verstanden.
Wäre sehr lieb, wenn mir jemand helfen könnte! Danke. |
Nina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. April, 2006 - 17:21: |
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Bitte, bitte, keiner, der was mit Taylor anfangen kann? |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1208
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. April, 2006 - 01:36: |
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Die Idee von Taylor ist es, eine Funktion durch eine ganzrationale Funktion anzunähern, die an einer vorgegebenen Stellen in möglichst vielen Ableitungen mit der Funktion übereinstimmt.
Die Rechnung(Ohne Gewähr)
f(x)=x²-xln(x)
f'(x)=2x-(1+ln(x))=2x-1-ln(x)
f''(x)=2-1/x
f'''(x)=1/x²
=> T3(x,1) = f(1) + (x-1)f'(1) + (1/2)(x-1)²f''(1) + 1/6(x-1)³f'''(1)
= 1+(x-1)+(1/2)(x-1)²+(1/6)(x-1)³
T3(2/3,1) = (2/3)+(1/2)(1/3)²-(1/6)(1/3)³
= (2/3)+(1/18)-(1/162) = (2*54+9-1)/162
= 116/162 = 58/81
Den Fehler kann man über die vierte Ableitung abschätzen. |
Nina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. April, 2006 - 16:00: |
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Hi Ingo!
Danke erst mal. Meine Lösung stimmte fast, ich habe nur statt eines x eine 1 geschrieben und deswegen war das Endergebnis falsch. Danke.
Kann mir das jemand mit dem Fehler noch näher erklären? In der Übung haben wir den Fehler irgendwie abgeschätzt mit |f-T3| und dann irgendeine obere Schranke bestimmt, aber das war mir nicht wirklich klar, wie man darauf kommen sollte. |
Nina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. April, 2006 - 16:21: |
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Ich kann noch mal das Beispiel aus der Übung angeben, ich versuche gerade, das auf unser Beispiel umzumünzen, aber mir gelingt es eigentlich gar nicht. In der Übung war f(x)=e^cosx. Für T3(x,0) haben wir heraus: e-(ex^2/2). Jetzt wollen wir den Fehler berechnen, den man begeht, wenn man f im Intervall [-pi/6, pi/6] durch T3 ersetzt.
|f-f(quer)|=R(Index: n+1)(irgendein griechisches Zeichen, das ich nicht mit Namen finden kann, sagen wir v dazu, x0)
|f-T3|=|e^cosx-e+e/2*x²|
</= |e^1-e+e/2*x²|=|e/2x²|
</=e/2*(pi/2)²
Darauf sollte man irgendwie kommen, wenn man sich die zugehörigen Graphen anschaut.
Mir ist aber bei der jetzigen Aufgabenstellung schon nicht ganz klar, was überhaupt mein Intervall ist. Ist das dann [2/3, 1]? Und wie soll ich da was abschätzen? Ich bin wirklich überfragt :-(. Wäre super, wenn mir da noch mal jemand helfen könnte! |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1209
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. April, 2006 - 20:09: |
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f(4)(x)=-2/x³
Der Fehler lässt sich durch das Restglied abschätzen (Siehe beispielsweise wikipedia)
Es gibt ein a zwischen (2/3) und 1, so dass
|f-t3|=|(-2/a³) (1/4!)(-1/3)4| = 2/(24*81|a|³)
Dieser Wert wird für a=2/3 maximal, so dass der absolute Fehler kleiner als
(1/(12*81))*(3/2)³ = 1/(12*24) = 1/288 ist.
Probe mittels Taschenrechner:
T3(2/3,1) = 58/81 = 0,7160493
f(2/3) = 0,7147545
Abweichung: 0,0012947 ~ 1/772 |
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