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Sandy20 (Sandy20)
Neues Mitglied
Benutzername: Sandy20
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2006
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. April, 2006 - 14:14: | 
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Hallo!
Habe einige Fragen beim Lösen folgender Aufgaben, wäre echt nett, wenn ihr mir helfen könntet:
a)
Berechnen Sie die komplexen Nullstellen der quadratischen Gleichung
z^2+2iz+i=0
- habe hierzu
z = -i +/- Wurzel aus (-1-i)
heraus. Wie muss ich nun weiterrechnen? Gibt es 2 Lösungen??
b) Zeigen Sie: Sind z,w element der komplexen Zahlen, z ungleich 0, so gilt:
Iz+wI = IzI + IwI <-->
es exisitiert ein t element der reellen Zahlen,
t>0: w =tz
Hier steh ich völlig auf dem Schlauch, hab nur gehört, man solle mit z=1 rumprobieren...
c)
Seien x,y element der reellen Zahlen, Berechnen Sie alfa,beta element der rellen Zahlen mit
(alfa+i*beta)^2 = x+i*y
habe hier nun erst folgendes berechnet:
alfa:= a
beta:= b
(a+ib)^2=x+iy <->
a^2+2abi-b^2=x+iy <->
a^2-b^2-x+(2ab-y)i=0
weiss nun aber nicht weiter....
d) Sind folgende Teilmengen von C offen bzw. abgeschlossen:
- C - (x elementIR I x größer gleich 0)
- (z element C I (Re z)(Im z) = 0)
Wäre wirklich dankbar für jede Art von Hilfe, da ich nicht mehr weiter komme. Habe die komplexen Zahlen noch nie so ganz verstanden und bekomme langsam schon etwas Panik. Bitte helft mir!
LG,
Sandra |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1124
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. April, 2006 - 16:21: |
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Sandra,
Hinweise:
b) Wenn w=0, so ist nichts zu beweisen,sei also w‡0. Aus der Voraussetzung folgt durch quadrieren
zw*+z*w =2 |z||w|.
(* bedeutet Konjugierung). Es ist nun einerseits
zw*+z*w = 2 Re(zw*),andererseits |z||w| = |z||w*|
= |zw*|. Die Voraussetzung besagt also
|zw*| = Re(zw*).
Daraus folgt, dass die komplexe Zahl s:= zw* in Wirklichkeit reell und wegen |s| = Re(s) = s auch >0
ist. Aus zw*=s folgt nun w*=s/z = sz*/|z|2 , also
w = sz/|z|2. Die reelle positive Zahl t := s/|z|2
leistet also das Verlangte (verifiziere durch Einsetzen !).
c) Aus (a+bi)2 = x+yi folgt durch Trennung von
Re - und Im-Teil
a2 - b2 = x , 2 ab = y.
Das ergibt für a die biquadratische Gleichung
a4 -xa2 -y/4 = 0 => a2=(x+|z|)/2.
Dabei sei z := x+yi. Beachte, dass a reell, also
a2 >= 0 sein muss, daher ist die Lösung (x-|z|)/2 <0
nicht brauchbar. Analog bestimmt man b. Beachte, dass von den 4 möglichen Vorzeichenkombinationen
nur genau zwei brauchbar sind, da das Vorzeichen
von ab mit dem von y übereinstimmen muss.
a) Wähle bei b) : x = y = -1.
mfG Orion
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Sandy20 (Sandy20)
Neues Mitglied
Benutzername: Sandy20
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2006
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. April, 2006 - 04:03: |
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Vielen lieben Dank, war eine sehr große Hilfe - musste zwar ne nachtschicht einlegen, hat sich aber gelohnt,hoff ich...
LG;
Sandy |
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