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Shabba (Shabba)
Neues Mitglied
Benutzername: Shabba
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2006
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. März, 2006 - 23:55: | 
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Hallo,
das zu loesende Integral ist
Int((t^3+2t+1)/(1-t^4),t). Wie man leicht erkennen kann, hat der Nenner komplexe Nullstellen - die Partialbruchzerlegung ist also nicht schoen.
Der Rechner spuckt 1/2*arctan(x)-ln(t-1)+1/2*ln(t+1)+1/4*ln(t^2+1) aus.
Habt ihr eine Idee?
Grueße,
shabba. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1122
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. März, 2006 - 08:33: |
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shabba,
rechne nach, dass der Integrand
f(t) = (1/2)*(t+1)/(t2+1) - 1/(t-1) - (1/2)*1/(t+1)
= (1/2)*1/(t2+1) + (1/4)*[(2t/(t2+1)]
-1/((t-1) - (1/2)*1/(t+1)
ist. Daran ist ò f(t)dt unmittelbar abzulesen.
mfG Orion
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Shabba (Shabba)
Neues Mitglied
Benutzername: Shabba
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2006
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. März, 2006 - 09:29: |
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Hi! Danke dir schon einmal sehr fuer deine Hilfe!
Wie jedoch kommst du ueberhaupt auf f(t) = (1/2)*(t+1)/(t2+1) - 1/(t-1) - (1/2)*1/(t+1) ? Ich habe die Fkt. zwar dargestellt als (t^3+2t-1)/(t-1)(t+1)(t^2+1), aber die Partialbruchzerlegung mit dem "Trick" A/t-1 + B/t-1 + (Ct+D)/(tÜ+1) will nicht so recht...
Wie kommst du also zu dem genialen Ansatz?
GrueÜe,
shabba
(Beitrag nachträglich am 26., März. 2006 von shabba editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1778
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. März, 2006 - 09:56: |
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Der Ansatz beruht auf einer leicht abgewandelten Partialbruchzerlegung: Beim Nenner (1 + t2) setzt man in den Zähler ein um Grad kleineres Polynom, also At + B. Der ganze Ansatz lautet daher:
(t3 + 2t + 1)/(1 - t4) = (At + B)/(1 + t2) + C/(1 - t) + D/(1 - t)
Nach dem Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich ist
A = 1/2, B = 1/2, C = -1/2, D = 1
Gr
mYthos |
Shabba (Shabba)
Neues Mitglied
Benutzername: Shabba
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 03-2006
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. März, 2006 - 10:43: |
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Danke auch Dir!
Seltsame Anomalien der Mathamatik - denn ich hatte im Prinzip nur Fehler beim Rechnen, den Ansatz habe ich hinbekommen.
Wir E-Techniker machen gerne Partialbruchzerlegungen am laufenden Band (die ganzen Ruecktransformationen von Laplace, Fourier, Z...) und haben da eine Schnell-Technik:
Wenn da steht:
(t^3 + 2t + 1)/(1 - t4) = (At + B)/(1 + t^2) + C/(1 - t) + D/(1 - t)
dann berechnen wir die Faktoren C und D ganz einfach, indem wir (z.B. fuer C) auf beiden Seiten mit 1-t multiplizieren und fuer t 1 einsetzen. Dadurch fliegt auf der rechten Seite alles andere (auÜer C) raus, und links muss man einfach nur einsetzen. Nur funktioniert hier der Ansatz seltsamerweise nicht. Alles auf den Hauptnenner gebracht funktioniert aber!
Danke euch!
GrueÜe,
shabba |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1781
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. März, 2006 - 12:26: |
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Ich kenne (und verwende auch gerne) diese abgekürzte Methode. Warum sollte sie hier nicht funktionieren?
Du hast offensichtlich einen Fehler beim Rechnen gemacht! Zunächst gehört in den Nenner bei C/(1 + t). Nach Multiplikation und Einsetzen für t = 1 kommt
4D = 4
D = 1
°°°°°
und alles ist so, wie es sein soll.
mY+
(Beitrag nachträglich am 26., März. 2006 von mythos2002 editiert) |
Shabba (Shabba)
Neues Mitglied
Benutzername: Shabba
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 03-2006
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. März, 2006 - 13:29: |
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Ich postuliere hiermit, dass 1 + 2 + 1 nicht drei, sondern vier ergibt. 
Wer sich an Hochschulmathematik vergreift, sollte vielleicht ab und an trotzdem mal mit Zahlen operieren ueben...
Gruesse,
shabba |
