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Matrix als Quadarat einer anderen Mat...

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Toxical (Toxical)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Toxical

Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 27. Januar, 2006 - 10:20:   Beitrag drucken

Hallo,

ich hoffe, ihr könnte mir nochmal helfen.

ich habe eine Aufageb - die angeblich etwas mit der Hauptachsentransformation zu tun hat -, bei der ich weder den Zusammenhang zur HAT noch einen sontgen Lösungsweg sehe, außer mit dem Holzhammer, und das kann es ja auch ncht sein...

Die Aufgabe ist:

zeigen Sie, dass genau eine der folgenden Matrizen A,B das Quadrat einer reellen Matrix ist.

A=
111
120
1010


B=
121
210
1010


Ich hab nur die IDee, die MAtrix, deren Quadrat dann A oder B sein soll, allgemien anzusetzen

C=
abc
def
ghi


Das dann zu quadrieren und die Gleichungen zu lösen..da kommt dann raus, dass A ein Quadrat einer reellen Matrix ist, B nicht.

Aber geht das nicht auch einfacher...v.a. im Zusammenhang mit der HAT?

Vielen Dank

Gruß
Eckhard
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1112
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 27. Januar, 2006 - 15:08:   Beitrag drucken

Eckhard,

A und B sind reell-symmetrisch, haben also jeweils
3 reelle Eigenwerte. Die charakteristischen Polynome
sind (rechne nach !):

x3 -13x2 + 30x + 8

bzw.

x3 - 12x2 + 16x + 31.

Die Nullstellen sind irrational, für die Aufgabenstellung
muss man aber nur die Vorzeichen kennen. Prüfe
nach (Zeichenwechsel !) dass die Eigenwerte von A in den Intervallen (0,1),(2,3), (10,11) , und diejenigen von B in den Intervallen (-1,0),(2,3), (10,11) liegen. Daher ist
X2 = A, nicht aber X2 = B reell lösbar.
mfG Orion
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Toxical (Toxical)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Toxical

Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 27. Januar, 2006 - 15:57:   Beitrag drucken

Hallo Orion,
heißt dein Nick eigentlich Oríon oder Orión?:-)

Danke für die Antowrt...Ja die Characteristischen Polynome hatte ich auch, hatte auch die Lage der Eigenwerte ermittelt..nur der letzte Schluss ist mir nicht gelungen...dass X^2`=B nicht lösbar ist, weil B einen negativen Eigenwert hat, nicht wahr?

Aber warum ist das so...

hat X² als Eigenwerte die (Eigenwerte von X)²

und auch wenn das so ist:-) kann X ja komplexe Eigenwerte haben, obwohl X selber reell ist...und damit könnte X² dann wiederum negative Eigenwerte haben...

Ich Danke dir fütr die Aufklärung.

Gruß
Eckhard
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1113
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 27. Januar, 2006 - 16:41:   Beitrag drucken

Eckhard,

Es ist A = Tt D T

wobei T eine reelle orthogonale Matrix und D eine reelle Diagonalmatrix ist. Ist X eine Lösung von
X2 = A, und setzt man Y:= TXTt, so gilt

Y2 = D =>

|Y|2 = |D| = Produkt der Eigenwerte < 0.

Somit Y nicht reell => X nicht reell.
mfG Orion
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Toxical (Toxical)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Toxical

Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 27. Januar, 2006 - 20:14:   Beitrag drucken

Orion, Danke für die Antwort.. ich glaube ich habe es fast verstanden:-)

Für die Intepretation dessen, was du geschrieben hast, fehlt mir nur noch die Bedeutung der senkrechten Striche in der vorletzten Zeile...

Nochmals Danke

Eckhard
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Toxical (Toxical)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Toxical

Nummer des Beitrags: 59
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 27. Januar, 2006 - 20:40:   Beitrag drucken

Ok, erst nachdenken, dann dumm nachfragen *g*

Striche bedeuten Dterminante, richtig?
Ich bin an det() gewohnt, von daher erst mal die Nachfrage...ok...dann ist alles klar..

Danke für die Hilfe

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