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linda
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 16. Januar, 2006 - 15:35: |
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hallo - ich weiß nicht, wie man folgendes zeigt (hab schon stundenlang rumprobiert aber meine rechnungen drehen sich irgendwie im kreis) also: Es sei f: R nach R eine stetige Funktion mit f(x+y) = f(x) + f(y) für alle x,y aus R zeigen sie, dass dann f(x)=ax für alle x aus R gilt, wobei a= f(1). hinweis: zeigen sie die beh. zunächst für alle x aus N, dann für alle x aus Z und für alle x aus Q wäre lieb (und n schönes geburtstagsgeschenk), wenn ihr mir bis heute abend antwortet danke lg linda |
dirk
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 16. Januar, 2006 - 18:27: |
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Es gilt nach Voraussetzung (1) f ist stetig. (2) f(x+y) = f(x) + f(y) für alle x, y aus R Behauptung: (3) f(x) = f(1)*x für alle x aus R Schritt 1: Zu zeigen ist (4) f(n) = f(1)*n für alle n aus N Beweis: a) Für n = 0 ist f(0) = f(0+0) = (wegen (2): ) f(0) + f(0) = 2*f(0) | - f(0) <=> 0 = f(0) <=> f(0) = 0 = f(1)*0 b) Angenommen, es ist f(n) = f(1)*n. Dann ist f(n+1) = (wegen (2): ) f(n) + f(1) = (wegen Induktionsvor.: ) f(1)*n + f(1) = f(1)*(n+1). Wegen a) und b) ist damit (4) bewiesen. Schritt 2: Zu zeigen ist (5) f(n) = f(1)*n für alle n aus Z. Beweis: a) Für jedes n aus N ist dies bereits bewiesen. b) Für jedes n aus Z ohne N, also für jedes negative ganze n ist 0 = f(1)*0 = (wegen (4): ) f(0) = f(n-n) = f(n + (-n)) = (wegen (2): ) f(n) + f(-n) |-f(-n) <=> f(n) = -f(-n) = (wegen (4): ) -f(1)*(-n) = f(1)*n ... |
dirk
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 16. Januar, 2006 - 18:28: |
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... Schritt 3: Zu zeigen ist (6) f(r) = f(1)*r für alle r aus Q. Beweis: Sei r aus Q. Dann ist r darstellbar als r = p/q mit einem p aus Z und einem q aus N. Es ist f(1)*p = (nach (5): ) f(p) = f(p*q/q) = f(q* (p/q)) = f(q*r) = f(r + r + ... + r) [q Summanden] = (wegen (2): ) f(r) + f(r) + ... + f(r) [q Summanden] = q*f(r) |:q <=> f(r) = f(1)*p/q = f(1)*r was zu zeigen war. Schritt 4: Zu zeigen ist (7) f(x) = f(1)*x für alle x aus R. Beweis: Die Aussage gilt, da Q dicht in R liegt und f auf R stetig ist. Formal: Für x aus Q ist dies bereits bewiesen. Für x aus R ohne Q betrachte eine Folge rationaler Zahlen r_1, r_2, ..., die gegen x strebt. Dann ist f(x) = (da f stetig: ) lim [n-->oo] f(r_n) = (wegen (6): ) lim [n-->oo] f(1)* r_n = f(1) * lim [n-->oo] r_n = f(1) * x. |
linda
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 16. Januar, 2006 - 20:50: |
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vielen vielen dank für die supergute erklärung (die sogar ich verstanden hab *g*) lg linda |
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