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beweis - stetige funktion

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linda
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 16. Januar, 2006 - 15:35:   Beitrag drucken

hallo - ich weiß nicht, wie man folgendes zeigt (hab schon stundenlang rumprobiert aber meine rechnungen drehen sich irgendwie im kreis)

also: Es sei f: R nach R eine stetige Funktion mit
f(x+y) = f(x) + f(y) für alle x,y aus R

zeigen sie, dass dann f(x)=ax für alle x aus R gilt, wobei a= f(1).

hinweis: zeigen sie die beh. zunächst für alle x aus N, dann für alle x aus Z und für alle x aus Q


wäre lieb (und n schönes geburtstagsgeschenk), wenn ihr mir bis heute abend antwortet

danke

lg linda
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dirk
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 16. Januar, 2006 - 18:27:   Beitrag drucken

Es gilt nach Voraussetzung

(1) f ist stetig.
(2) f(x+y) = f(x) + f(y) für alle x, y aus R

Behauptung:

(3) f(x) = f(1)*x für alle x aus R


Schritt 1: Zu zeigen ist

(4) f(n) = f(1)*n für alle n aus N

Beweis:

a) Für n = 0 ist

f(0) = f(0+0) = (wegen (2): ) f(0) + f(0) = 2*f(0) | - f(0)
<=> 0 = f(0)
<=> f(0) = 0 = f(1)*0

b) Angenommen, es ist f(n) = f(1)*n. Dann ist

f(n+1) = (wegen (2): ) f(n) + f(1) = (wegen Induktionsvor.: ) f(1)*n + f(1) = f(1)*(n+1).

Wegen a) und b) ist damit (4) bewiesen.


Schritt 2: Zu zeigen ist

(5) f(n) = f(1)*n für alle n aus Z.

Beweis:

a) Für jedes n aus N ist dies bereits bewiesen.

b) Für jedes n aus Z ohne N, also für jedes negative ganze n ist

0 = f(1)*0 = (wegen (4): ) f(0) = f(n-n) = f(n + (-n)) = (wegen (2): ) f(n) + f(-n) |-f(-n)
<=> f(n) = -f(-n) = (wegen (4): ) -f(1)*(-n) = f(1)*n

...
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dirk
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 16. Januar, 2006 - 18:28:   Beitrag drucken

...

Schritt 3: Zu zeigen ist

(6) f(r) = f(1)*r für alle r aus Q.

Beweis:

Sei r aus Q. Dann ist r darstellbar als r = p/q mit einem p aus Z und einem q aus N.

Es ist

f(1)*p = (nach (5): ) f(p) = f(p*q/q) = f(q* (p/q)) = f(q*r) = f(r + r + ... + r) [q Summanden]
= (wegen (2): ) f(r) + f(r) + ... + f(r) [q Summanden] = q*f(r) |:q
<=> f(r) = f(1)*p/q = f(1)*r

was zu zeigen war.


Schritt 4: Zu zeigen ist

(7) f(x) = f(1)*x für alle x aus R.

Beweis:

Die Aussage gilt, da Q dicht in R liegt und f auf R stetig ist.

Formal:

Für x aus Q ist dies bereits bewiesen.

Für x aus R ohne Q betrachte eine Folge rationaler Zahlen r_1, r_2, ..., die gegen x strebt.

Dann ist f(x) = (da f stetig: ) lim [n-->oo] f(r_n) = (wegen (6): ) lim [n-->oo] f(1)* r_n = f(1) * lim [n-->oo] r_n = f(1) * x.
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linda
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 16. Januar, 2006 - 20:50:   Beitrag drucken

vielen vielen dank für die supergute erklärung (die sogar ich verstanden hab *g*)

lg linda

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