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Fabienne
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Januar, 2006 - 21:45: | 
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Hallo.
Ich habe mal wieder eine Aufgabe, die ich gerne teilweise korrigiert, teilweise auch erklärt hätte.
Sie sieht folgendermaßen aus:
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Fabienne
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Januar, 2006 - 21:46: |
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(i) Damit bin ich einigermaßen zurecht gekommen, ich weiß nur nicht, ob ich das so aufschreiben kann. Meine Lösung:
f(x) lässt sich aufgliedern in:
g(x)=sqrt(2)*x^4
h(x)=-25,37
i(x)=(3x+2-x²)/(2x^3)
j(x)=sqrt(x)
g(x) ist stetig, da aus der Vorlesung bekannt, dass Polynome stetig sind.
h(x) ist stetig, da aus der Vorlesung bekannt, dass Konstanten stetig sind.
i(x) ist stetig, da aus der Vorlesung bekannt, dass rationale Funktionen stetig sind.
j(x) ist stetig, da aus der Vorlesung bekannt, dass sqrt(x) stetig ist.
Nach den Rechenregeln für stetige Funktionen folgt:
f*(x)=i(x)*j(x)=(3x+2-x²)/(2x^3)*sqrt(x) ist stetig und damit ist auch
f(x)=g(x)+h(x)+f*(x)=sqrt(2)*x^4-25,37+(3x+2-x²)/(2x^3)*sqrt(x)
Kann man das so aufschreiben?
(ii) Da bin ich so ähnlich vorgegangen.
g(x) lässt sich schreiben als h(x)/i(x), wobei
h(x)=sin[(-4x^7+3x+1,3)/(8x^6+2)]+8x²
i(x)=x^6+5x²+sqrt(7)
i(x) ist stetig, da jedes einzelne Element stetig ist und somit auch die Summe.
Bei h(x) ist 8x² auf jeden Fall auch stetig. Unsicher bin ich mir jetzt bei dem Sinus. An sich ist die Sinusfunktion ja auch stetig, ist es dann vollkommen egal, was innerhalb der Klammer steht? Oder muss ich irgendwie den Term in der Klammer noch mal extra betrachten?
(iii) Wohl der komplizierteste Fall. Da habe ich noch einen Hinweis gegeben, der mir sagt, dass es hier wohl um die stetige Fortsetzung für Funktionen geht.
Wobei mir das nicht ganz einleuchtet, denn wenn ich irgendeine Funktion fortsetze, wird es doch zu einer neuen Funktion oder nicht?
Jedenfalls ist die Funktion auf dem Bereich ]-13,1[ auf jeden Fall stetig. Im Bereich ]3,11[ ebenfalls. Und zwischen 1 und 3 auch. Die Frage ist jetzt wohl, was an den Stellen 1 und 3 passiert. Ich würde jetzt mal vermuten, dass man evtl. rechts und linksseitige Grenzwerte bilden muss und dann vergleichen? Wobei ich mal wieder keine Ahnung habe, wie das geht, außer mit Einsetzen.
Wenn man sich der 1 von rechts nähert, kommt man ja an die 0, ebenso, wenn man dies von links tut. Also müsste die Funktion im Punkt 1 auch stetig sein.
Allerdings, wie schreibe ich das so auf, dass es auch "bewiesen" ist?
Ich vermute, dass die Funktion an der Stelle 3 nicht stetig ist, aber wie zeige ich das?
Würde mich sehr, sehr freuen, wenn sich jemand mal die Mühe machen würde, das durchzusehen!
Danke,
Fabienne |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 737
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Januar, 2006 - 22:52: |
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Hi Fabienne,
die Funktionen sind alle stetig. Bei der i hast du die Rechenregeln korrekt angewendet, bei der ii solltest du ergaenzen, dass auch die Verkettung stetiger Funktionen wieder eine solche ergibt, insofern ist es schon wichtig, sich das Argument des Sinus anzusehen. Da die Nenner aber alle so wunderbar von der 0 wegbleiben, ist das gar kein Problem.
Bei der iii hast du sehr richtig bemerkt, dass man sich nur die Schnittstellen 1 und 3 ansehen braucht, da die Abschnitte stetig sind. Daher kann man auch die Grenzwerte durch Einsetzen ermitteln und sieht in beiden Faellen, dass der Graph nur Ecken aber kein Sprungstellen besitzt, die einseitigen Grenzwerte und der Funktionswert sind gleich und die Funktion also stetig.
Man muss natuerlich wissen, dass der tan(60 Grad)=sqrt(3) ist.
sotux |
Fabienne
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Januar, 2006 - 21:23: |
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Hi sotux,
vielen, vielen Dank, ich denke, jetzt ist alles klar und ich hab's sogar verstanden :-).
Fabienne |
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