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Beitrag |
    
Annika
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Januar, 2006 - 12:58: | 
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Hallo.
Ich soll zeigen, dass eine Funktion stetig ist, habe aber keine Ahnung, wie ich dabei überhaupt vorgehen muss bzw. was ich zeigen muss, damit die Aussage bewiesen ist.
Meine Funktion lautet:
f: R -> R mit
f(x)=
2-tan(Pi/(2(x-1)²+2)) wenn x<0
2x-4*sqrt(x)+2*sin(Pi*x)+1 wenn x³0
Nun soll ich also erstens zeigen, dass diese Funktion stetig ist und zweitens den Grenzwert lim(x--> -oo) von f(x) bestimmen.
Als Hinweis zur Stetigkeit im Punkt 0 ist mir noch gegeben, dass es genügt, zu zeigen, dass
lim (x-->0-)f(x) = lim (x-->0+)f(x) = f(0).
Ich wäre ziemlich froh, wenn mir irgendjemand weiterhelfen könnte, denn ich muss das Ganze zur Korrektur abgeben :-(.
Danke, Annika |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1702
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Januar, 2006 - 16:14: |
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Hi,
die Stetigkeit kann an und für sich zuerst immer nur in einem bestimmten Punkt untersucht werden. Falls die Stetigkeit in einem Intervall gezeigt werden soll, muss gelten, dass die Funktion in jedem Punkt des Intervalles stetig ist.
Also muss in der Angabe stehen, in welchem Intervall (z.B "stetig auf R") oder an welcher Stelle (z.B x = 0) die Funktion stetig sein soll.
Für den Fall x = 0 wird zunächst der Funktionswert an dieser Stelle bestimmt, für die Stetigkeit muss dieser existieren:
f(x) = 2x - 4*sqrt(x) + 2.sin(pi.x) + 1, x³0
f(0) = 1
Nun der linkseitige Grenzwert:
Da wir "von links kommen", gilt die erste Zeile der Funktionsdefinition:
lim(x-->0-)(2 - tan(pi/(2(x - 1)² + 2))) =
= lim(h-->0)(2 - tan(pi/(2(-h - 1)² + 2)))=
[wir ersetzen x durch 0-h, h > 0 (!), und lassen h --> 0 gehen]
= 2 - tan(pi/4) = 2 - 1 = 1
Für den rechtsseitigen Grenzwert nimmst du nun die zweite Zeile und verfährst w.o. [x durch 0+h ersetzen, h > 0, weil du jetzt von rechts kommst) ..
Auch da wirst du wiederum +1 erhalten, somit ist die Funktion stetig an der Stelle 0.
Für die Bestimmung von lim(x--> -oo) f(x) ist nur die erste Zeile der Definition für f(x) relevant.
Überlege, welchen Wert der tan annimmt, wenn sein Argument den Wert (pi dividiert durch eine unendlich große Zahl) annimmt ... .
Gr
mYthos |
Annika
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Januar, 2006 - 17:46: |
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Hallo mYthos!
Als erstes mal vielen Dank für deine Hilfe!
Ich habe noch ein paar Fragen.
Zuerst zur Stetigkeit:
Die "Beweisführung" für die Stetigkeit in x=0 ist mir jetzt klar geworden, danke auch für den "Trick" mit dem x ersetzen, da wäre ich nie drauf gekommen und es ist viel einleuchtender so.
Nun soll ich ja aber zeigen, dass die ganze Funktion stetig ist. Was du geschrieben hast über Intervalle etc., leuchtet ein, ich müsste dann aber ja irgendwie noch zeigen, dass der obere Teil der Definition stetig ist auf D: x<0 und der untere auf x³0. Kann ich das irgendwie machen?
Zur Bestimmung von lim(x-->-oo):
Meine Vermutung ist, dass es keinen Grenzwert gibt. Also dass die Werte immer schwanken, zwischen positivem und negativem Vorzeichen. Allerdings ist mein altes Problem, dass ich einfach nicht weiß, wie ich das "zeige" bzw. mathematisch mit irgendwelchen Rechenregeln bestimmen kann.
Und ich schreibe das ganz sicher nicht, damit mir jemand meine Aufgaben löst, sondern ich gebe mir wirklich Mühe, das zu verstehen und nachzuvollziehen. :-(
Danke noch mal, Annika |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 738
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Januar, 2006 - 23:03: |
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Hi Annika,
zur Stetigkeit auf dem Rest von R verweist man meist nur auf die Stetigkeit der verwendeten Grundfunktionen und die Rechenregeln fuer stetige Funktionen.
Bei der Grenzwertbestimmung hast du den Effekt, dass das Argument des Tangens fuer x->-oo gegen 0 geht, und da der tan in dem Bereich auch stetig ist, ist der Grenzwert auch der Funktionswert an dieser Stelle, also 0.
sotux |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1705
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Januar, 2006 - 23:40: |
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Das Argument der Tangensfunktion geht nicht gegen - oo, wie du irrtümlich vermutest hast (dann würde die Tangensfunktion wirklich "hin- und her" gehen), sondern gegen Null, deswegen, weil der Ausdruck 2.(x - 1)² + 2 im Nenner des Bruches steht.
Wir erkennen ganz sicher deine Mühe an, selbst zum Verständnis der Sache zu kommen und bieten dazu Hilfe, wozu wir gerne bereit sind.
Gr
mYthos |
Annika
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Januar, 2006 - 21:33: |
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Hallo ihr beiden,
erst noch mal danke. Die Stetigkeit der Funktion insgesamt habe ich jetzt gezeigt und ich glaube, auch verstanden.
Aber bei dem Grenzwert blicke ich noch nicht ganz durch. Dass das Argument der Tangensfunktion, also der Bruch gegen Null geht, kann ich nachvollziehen. Aber mir ist noch nicht klar, wieso jetzt der Tangens deswegen auch gegen 0 geht. Weil tan0=0?
Und was ist dann der Grenzwert? Denn ich habe ja jetzt da stehen (das Argument des Tangens nenne ich der Einfachheit halber jetzt mal z):
lim(x-->-oo)[2-tan(z)]=lim(x-->-oo)[2-0]=2?
Ist das Endergebnis 2 oder 0 oder was ganz anderes?
Danke noch mal, Annika |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1706
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Januar, 2006 - 00:14: |
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.. exakt, weil tan(0) = 0 und weil der tan dort auch stetig ist, ist lim(x-->0)[tan(x)] = 0
.. ja, auch das stimmt, der Grenzwert der ganzen Funktion für x --> -oo ist tatsächlich 2 - 0 = 2
Du hast es jetzt gut verstanden ...
Gr
mYthos |
Annika
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Januar, 2006 - 14:51: |
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Hi Mythos,
dankeschön, alles geklärt :-).
Annika |
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