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Jana
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 17:43: | 
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Hallo zusammen,
vielleicht versteht hier ja jemand diese komische Aufgabe. Ich zumindest verstehe sie nicht und wäre sehr dankbar, wenn jemand mir hefen könnte sie zu lösen.
es handelt sich bei dieser Aufgabe um einen Beweis mit Hilfe der Methode der vollständigen Induktion.
Man betrachte Kinder, deren beiden Augen keine unterschiedliche Augenfarbe haben.
Behauptung: Diese Kinder haben alle dieselbe Augenfarbe.
Beweis durch vollständige Induktion über die Anzahl n von betrachteten Kindern.
a) es sei n =1: Hier gibt es nur eine Augenfarbe, also ist der Induktionsanfang erfüllt.
b) Für eine Zahl n gelte: in jeder Gruppe von n Kindern gibt es stets nur eine Augenfarbe.Man wähle nun eine beliebige Gruppe von n+1 Kindern, anschaulich in eine Reihe gestellt:oo....oo, und nehme das erste Kind heraus:o,o....oo, dann haben nach Induktionsannahme die n Kinder (von Nr.2 bis Nr. n+1) alle dieselbe Augenfarbe (Aussage A). Nimmt man dagegen das letzte Kind heraus: oo....o,o, dann haben nach Induktionsannahme die ersten n Kinder (Nr.1 bis Nr.n) dieselbe Augenfarbe, also insbesondere Kind Nr.1 und Kind Nr.2. Da Kind Nr.2 diesselbe Augenfarbe hat, wie die weiteren von Nr.3 bis Nr.n+1 (s.Aussage A), haben demnach alle n+1 Kinder dieselbe Augenfarbe.
Irgendwo muss hier im Beweis ein Fehler liegen, aber wo?
Vielleicht versteht ja jemand die Aufgabe und kann mir helfen. Wäre super!
Gruß Jana |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1176
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Januar, 2006 - 20:48: |
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quote:...also insbesondere Kind Nr.1 und Kind Nr.2...
Woher weisst Du denn, dass diese Annahme für zwei Kinder gilt? 
Denk mal drüber nach, dann wird Dir vermutlich der Fehler auffallen. |
Jana
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Januar, 2006 - 12:23: |
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ich komm leider nicht drauf |
dirk
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Januar, 2006 - 13:26: |
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Teil b) beginnt mit "Für eine Zahl n gelte...". Alles was nun folgt, müsste also insbesondere auch für ein spezielles n gelten, nämlich für n = 1. Für n = 1 ist die Schlussfolgerung "dann haben nach Induktionsannahme die ersten n Kinder (Nr.1 bis Nr.n) dieselbe Augenfarbe, also insbesondere Kind Nr.1 und Kind Nr.2" aber falsch.
Für n = 1 funktioniert also der Induktionsschluss von n nach n + 1 nicht. |
Jana
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Januar, 2006 - 19:08: |
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und das war schon alles? |
dirk
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Januar, 2006 - 10:20: |
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Ja, denn die zu beweisende Aussage "Für jede natürliche Zahl n gilt: n Kinder, von denen jedes gleichfarbige Augen hat, haben alle gemeinsam dieselbe Augenfarbe" ist offensichtlich unsinnig, da es zum Beispiel n = 2 verschiedene Kinder auf der Welt gibt, von denen eines zwei blaue und das andere zwei braune Augen hat.
Die korrekten Teile des vorliegenden Beweises belegen:
- Die Aussage ist wahr für n = 1.
- Wenn die Aussage für n = 2 wahr ist, dann ist sie auch für n = 3 wahr.
- Wenn die Aussage für n = 3 wahr ist, dann ist sie auch für n = 4 wahr.
- usw.
Das Problem ist: Die Folgerung
- Wenn die Aussage für n = 1 wahr ist, dann ist sie auch für n = 2 wahr.
ist falsch, denn: Die Aussage ist für n = 1 wahr, für n = 2 aber - wie oben durch ein Beispiel belegt - falsch; aus etwas Wahrem kann aber nichts Falsches folgern.
Also ist die Induktionskette an der Stelle n = 2 unterbrochen und damit der gesamte Induktionsbeweis hinfällig. |
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