    
Toxical (Toxical)
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Benutzername: Toxical
Nummer des Beitrags: 52
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| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Januar, 2006 - 11:00: | 
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Hallo,
Ich habe zu einer Aufgabe einen Beweis gefunden, bin mir aber nicht sicher, ob der so in ORdnung ist. Wäre froh, wenn ihr das kurz bestätigen könntet, oder eben auch nicht bestätigen:-)
Die Aufgabe ist so:
Für n>=1 sei V der Vektorraum der Polynome vom Grad <=n mit reellen Koeffizienten. Sei A: V->V die lineare Abbildung mit
(Af)(X) = f(X+1)-f''(x)
wobei f'' die zweite Ableitung von f sei. Zeigen SIe, dass l=1 der einzige Eigenwert von A ist, und bestimmen Sie den zugehörigen Eigenraum!
Soweit die Aufgabe.
Nun meine LÖsung:
Aus l*f(x) = f(X+1)-f''(X) folgt durch Koeffizientenvergleich bei der höchsten Potenz von X, dass l = 1 der einzige Eigenwert ist.
Nun zu dem Eigenraum:
Damit f(x) = f(X+1)-f''(X) müssen die beiden Seiten offenbar in allen Potenzen von X übereinstimen, also insbesondere in der höchsten und der zweithöchsten. (in diesen kommt von dem f''(X)-term zum Glück kein Beitrag:-))
Sei die höchste Potez m, dann folgt für die Potenzen m und (m-1):
a*x^m + b*x^(m-1) = a*(x+1)^m + b*(x+1)^(m-1) = a*x^m + a*m*x^(m-1) + ... + b*x^(m-1) + ...
wobei die Pünktchen niedrigere Potenzen von x ersetzen.
Also a*x^m + b*x^(m-1) = a*x^m + (am + b)*x^(m-1)
<=>b = am + b
<=>a = 0
Weil a der Koeffizient der höchsten Potenz war, muss ein Polynom des Eigenraums vom Grad <m sein. Die Argumentation setzt sich fort, bis m=1, dann versagt sie.
Für m=0 also f(x)=const. zeigt man leicht durch Einsetzen, dass diese Polynome, und ergo nur diese den Eigenraum zu A bilden.
Geht das so in Ordnung?
Vielen Dank für Eure Antwort
Eckhard |
