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Schlittenfahrt im R² und Puzzlespiel

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Anne
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Januar, 2006 - 11:25:   Beitrag drucken

Hallo.
Ich grübel schon ne Weile über diesen zwei "kleinen" Aufgaben. Laßt euch von der Länge des Textes der Aufgabe bitte nicht abschrecken...

In der Talsohle einer Winterlandschaft liegt die Hütte eines kinderreichen Bauern. Im Umkreis von 1km hat die Landschaft die Form des Graphen der Funktion 6x²+3xy+y² (in km gemessen), wobei die Hütte an der tiefsten Stelle steht. Knecht Ruprecht hat sich bis an einen Punkt 500m östlich der Hütte herangearbeitet, also an den Punkt (0,5;0), als er von einem Schneesturm und schlechter Sicht überrascht wird. Er beschließt daher, mit seinem Schlitten immer so steil wie möglich bergab zu fahren, um so die Hütte zu erreichen. Welche Kurve beschreibt seine Bahn?

Ich habe mir dazu überlegt, dass die Richtung des steilsten Abstiegs durch grad.f=(12x+3y;3x+2y) gegeben ist. Also müßte mit c(t)=(c_(t);c_2(t)) die Bahnkurve c'(t)=-(grad.f)(c(t))=(-12c_1(t)-3c_2(t);3c_1(t)-2c_2(t)) gegeben sein. Nur jetzt weiß ich leider nicht, wie ich dsa weiter lösen muß. Wo fließt den Punkt (0,5;0) denn ein?

Der zweite Teil:
In seinem Gepäck hat Knecht Ruprecht unter anderem ein Puzzle, bestehend aus einem Feld von 62cm Breite und 43cm Höhe. Das Ziel ist, dieses Feld mit rechteckigen Plättchen exakt zu belegen. Das besondere an diesem Spiel ist, dass man sich diese Plättchen selbst ausschneiden darf. Dazu hat Knecht Ruprecht gleich ausreichend Pappe und eine Schere mitgegeben. So wäre das Spiel natürlich uninteressant, wenn da nicht noch folgende Nebenbedingung wäre: Jedes Plättchen soll genau 5cm breit sein, die Höhe ist aber beliebig. Läßt sich so ein Puzzle überhaupt lösen?

Hier glaube ich, dass sich das nicht lösen läßt, weil ja die Fläche des Puzzles 43*62=2666 ist, wenn ich die Fläche jetzt durch 5 teile, müßte ja eine ganze Zahl rauskommen, was nicht der Fall ist. Allerdings weiß ich nicht, ob das stimmt, und wie man das dann wirklich aufschreiben muß.

Könnt ihr mir dabei wohl bitte helfen?
Besten Dank,
Anne

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