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Beitrag |
    
mike
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Januar, 2006 - 14:13: | 
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Hallo zusammen,
ich habe ein Problem mit einer Aufgabe zur Hölderschen Ungleichung für Integrale. Die Aufgabe soll ziemlich schwer sein und ich weiß absolut nicht weiter. Ich soll folgendes beweisen/ herausfinden:
Wann gilt bei der Hölderschen Ungleichung für Integrale die GLEICHHEIT?
(Lösung ist- so habe ich gehört- <=> die Funktionen f und g Vielfache voneinander sind. Ich weiß aber nicht, wie ich das zeigen soll...)
Viele Grüße,
mike |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 733
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Januar, 2006 - 17:07: |
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Hi,
schreib doch mal eure Voraussetzungen sauber hin, ich glaube das naemlich nicht so ganz wenn ihr ausser Messbarkeit nichts von den Funktionen fordert, da muessten kleine Unterschiede erlaubt sein solange sie an den Integralen nix aendern.
sotux |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1110
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Januar, 2006 - 09:39: |
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mike,
Vorschlag :
Die Hölder-Ungleichung beruht darauf, dass die
Funktion ln streng konkav ist, d.h.: Ist 0 < u £ v,
so gilt mit 1/p + 1/q = 1 :
ln(u/p + v/q) >= (1/p)ln(u) + (1/q)ln(v) .
Wendet man hierauf exp an, so hat man
(1) u/p + v/q >= u1/p v1/q.
Gleichheit gilt genau dann, wenn
(2) u = v.
Setzt man nun
u := |f(x)|p /ò a b |f(t)|pdt
v := |g(x)|q/ò a b |g(t)|qdt
in (1) ein und integriert die entstehende Ungleichung
über [a,b], so erhält man die Hölder-Ungleichung.
Dabei gilt Gleichheit g.d.w. (2) (wegen der Integration) fast überall in [a,b] gilt, d.h. wenn
|g(x)|q = C* |f(x)|p fast überall , mit
C =
[(òa b |f|p)1/p) / (òa b |g|q)1/q]
mfG Orion
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mike
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Januar, 2006 - 15:23: |
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Vielen Dank für deine schnelle Hilfe. Hat mir echt sehr geholfen.
Gruß,
mike |
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