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brauche eure hilfe

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Silke
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 02. Januar, 2006 - 12:02:   Beitrag drucken

Hallo,
kennt sich hier vielleicht jemand mit der Methode der volllständigen Induktion aus?

Ich muss nähmlich folgende Aufgaben mit hilfe der Methode der vollständigen Induktion nachweisen und irgendwie klappt das nicht so ganz wie ich mir das vorstelle.
Also hier jetzt die beiden Aufgaben:

a)Es sei g€N, g>1, dann gilt: (g+1)|(g(²n)-1)
b)Sn:=5+6+7+...+(4+(n-1))+(4+n)=n*(n+9)/2, n€N

Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke. Gruß Silke
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Sotux (Sotux)
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Senior Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 728
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Montag, den 02. Januar, 2006 - 22:43:   Beitrag drucken

Hi,

bei deiner a) habe ich Probleme deine Schreibweise zu verstehen, bei der b) kannst du so vorgehen:
IA: n=1 stimmt da 5 = 1*10/2
IS: Sn+1 = Sn + 4+n+1 = n*(n+9)/2 + 4+n+1
= n*(n+9)/2 + (n+9)/2 + (n+1)/2
= (n+1)*(n+9)/2 + (n+1)/2
= (n+1)*(n+1+9)/2 qed

sotux
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Silke
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Januar, 2006 - 09:35:   Beitrag drucken

Hallo sotux!
vielen dank.
ja bei a habe ich auch so meine schwierigkeiten die aufgabe überhaupt zu verstehen. die steht da wirklich so. ich habe die genau so abgeschrieben. also das ²n gehört zu dem g.

Oder könnte das vielleicht heißen: g+1 ist teiler von g(²n) -1 und wie funktioniert das dann?
Gruß Silke
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1108
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Januar, 2006 - 10:08:   Beitrag drucken

Silke,

hast Du nicht bemerkt, dass g(2n) ein völlig
sinnloser Term ist ? Wie wäre es denn mit
g2n ? Beachte nun, dass

g2n - 1 = (g2n-1 -1)(g2n-1 + 1)
mfG Orion
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Silke
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Januar, 2006 - 13:33:   Beitrag drucken

irgendwie verstehe ich diese ganze aufgabe nicht mehr. vielleicht ist es so logischer es aufzuschreiben: g^(2n). irgendwie muss die aufgabe doch zu lösen sein oder? Sie steht zumindest so auf meinem aufgabenzettel.

Gruß Silke
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Sotux (Sotux)
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Senior Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 730
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Januar, 2006 - 18:14:   Beitrag drucken

Hi Silke,

mit Orions Schreibweise (g^2^n)und seiner Erinnerung an die 3. bin. Formel ist die Aufgabe doch nicht so schwer:
IA: g^2-1=(g-1)*(g+1) ist OK
und den Induktionsschluss hat er ja schon fast hingeschrieben.

sotux
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Silke
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Januar, 2006 - 17:53:   Beitrag drucken

so lautet aber leider die Aufgabe nicht. LAut Aufgabe steht da: g^(2n) und deswegen vesrteh ich doch diese Aufgabe auch nicht

Gruß Silke
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1109
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Januar, 2006 - 22:18:   Beitrag drucken

Silke,

Auch das ist kein Unglück, denn

g2(n+1) - 1 = g2(g2n -1)+(g-1)(g+1)
mfG Orion
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Silke
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Januar, 2006 - 12:51:   Beitrag drucken

Hallo,
aber irgendwie versteh ich den Beweis immer noch nicht.
Gruß Silke
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Sotux (Sotux)
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Senior Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 731
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Januar, 2006 - 13:56:   Beitrag drucken

Hi,

den IA koennen wir ja genau so lassen, der Induktionsschluss geht so:
Wir setzen voraus, dass g+1 Teiler von g^(2*n)-1 ist.
Dann ist g^(2*(n+1))-1=g^(2*n+2)-1=g^2*g^(2*n)-1
Jetzt machen wir den ueblichen Trick eine intelligent gewaehlte 0 zu addieren und dann das Assoziativgesetz walten zu lassen:
=g^2*g^(2*n)-g^2 + g^2-1
=g^2*(g^(2*n)-1) + (g-1)*(g+1)
Der erste Summand ist nach unserer Voraussetzung durch g+1 teilbar, der zweite auch und folglich auch die Summe der beiden, qed.

sotux
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Silke
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Januar, 2006 - 17:08:   Beitrag drucken

Super, vielen Dank.
Silke

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