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Beitrag |
    
Christina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Dezember, 2005 - 20:25: | 
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Hi ihr alle,
ich hoffe, hier ist jemand, der schlauer ist als ich und mir helfen kann. Ich habe zwei Aufgaben gegeben.
Die erste:
Ich habe f:R->R gegeben mit f(x)=[(x²-1)(x²+1)]/[Betrag von ((x²-1)(x^4+x²+1))]
Nun soll ich den größtmöglichen Definitionsbereich bestimmen und jeweils den rechts- und linksseitigen Grenzwert an der Stelle x(0)=1.
Für den Definitionsbereich vermute ich, dass er R ist ohne +/- 1, stimmt das? Bei den Grenzwerten habe ich gar keine Idee, außer ablesen, aber das ist ja nicht so gedacht. In der Vorlesung wurde das aufgeschrieben mit Bezug auf die Häufungspunkte, aber die kann ich auch nicht bestimmen.
Die zweite:
g:R->R mit g(x)=(2x²)*sin(1/x²)
Hier soll ich wieder den größtmöglichen Definitionsbereich bestimmen (ist der R ohne die 0?) und den Grenzwert für x gegen unendlich.
Als Hinweis habe ich noch gegeben, dass ich die Funktion durch eine geeignete Subsitution auf einen mir aus der Vorlesung bekannten Ausdruck bringen soll, bloß habe ich keine Ahnung, welcher Ausdruck damit gemeint sein könnte. :-(
Ich vermute, dass hier der Grenzwert 2 sein könnte, aber das ist auch nur abgelesen und ich habe wirklich keine Ahnung, wie man das "mathematisch" bestimmt.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte!
Danke, Christina |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 722
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Dezember, 2005 - 21:01: |
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Hi,
zu 1: Der maximale Definitionsbereich stimmt, wenn du von rechts kommst ist x^2-1>0, d.h. gleich seinem Betrag (die anderen beiden Faktoren sind immer >0 und fuer das Vorzeichen ohne Belang) und der Grenzwert daher 1, wenn man von links kommt hat man dagegen -1.
zu 2: Auch hier ist der Bereich korrekt, vermutlich sollt ihr das auf den Grenzwert sin(x)/x fuer x gegen 0 zurueckfuehren der bekanntlich 1 ist, d.h. der gesuchte Grenzwert von g ist 2:
g(x)=2*sin(1/x^2)/(1/x^2), substituiere y=1/x^2
sotux |
Christina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Dezember, 2005 - 11:47: |
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Hallo sotux,
danke erst mal. Ich habe immer noch Probleme, das ganze "regelkonform" aufzuschreiben. Als Beispiel hatten wir in der Vorlesung die Funktion f(x)=1/(x-1), x€D=R{1}. Nun war unser z=1
Dann hieß es H(D n ]z, oo]) = H(]1, oo[) = [1,oo[
lim (x->1+)=oo
(n bdeutet und)
Und: H(D n ]-oo, z[ = H(]-oo,z[) = ]-oo,1]
lim (x->1-)=-oo.
Und jetzt müsste ich das doch bei dieser Aufgabe theoretisch auch irgendwie so aufschreiben, oder nicht?
Zur ersten: Mein z ist wieder =1. Ich muss jetzt den Definitionsbereich einschränken auf D vereinigt mit dem offenen Intervall z bis unendlich.
Was meintest du mit den anderen beiden Faktoren, die immer >0 sind? Dass das für x^4+x^2+1 gilt, ist klar. Der andere Faktor ist dann x^2+1 ? Wie bestimme ich denn den Grenzwert 1 mit Rechenregeln?
Zur 2: Mit der Substitution durch den Grenzwert von sinx/x, der 1 ist, hast du vermutlich recht, den hatten wir jedenfalls in der Vorlesung ;-).
Dann habe ich da stehen:
lim (x->0) sinx/x = 1
Ich habe allerdings deine Umformung nicht verstanden, wie kommst du auf (1/x^2)/(1/x^2)? Und auch die Substitution leuchtet mir noch nicht wirklich ein :-(.
Wäre sehr, sehr lieb, wenn mir noch mal jemand weiterhelfen könnte!
Danke, Christina |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1684
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Dezember, 2005 - 17:50: |
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Hi,
zur Umformung in 2.
-------- Zitat --------
...
Ich habe allerdings deine Umformung nicht verstanden, wie kommst du auf (1/x^2)/(1/x^2)? Und auch die Substitution leuchtet mir noch nicht wirklich ein :-(.
...
-----------------------
Nach Ausklammerung von 2 in g(x) ersetzt er x² einfach durch 1/(1/x²) [Division durch den Reziprokwert]. Danach wird statt 1/x² der Wert y gesetzt (Substitution: 1/x² = y).
Somit wird g(x)
g(x) = 2 * sin(1/x²) / (1/x²)
g(y) = 2 * sin(y) / y
Aus der Substitution lesen wir: x -> oo entspricht y -> 0
Weil sin(y)/y für y -> 0 gegen 1 geht, ist
lim g(y) [y -> 0] = 2 bzw.
lim g(x) [x -> oo] = 2
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 29., Dezember. 2005 von mythos2002 editiert) |
Christina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Dezember, 2005 - 16:08: |
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Hi Mythos,
dankeschön! Zumindest der Teil der Aufgabe ist mir jetzt klar geworden.
Am anderen sitze ich noch ;-).
Grüße,
Christina |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 724
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Dezember, 2005 - 20:21: |
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Hi,
nochmal zur 1: x^2+1 ist immer >=1>0, also unkritisch. Den besten Ueberblick bekommst du, wenn du die kritischen und die unkritischen Terme trennst und deine Funktion schreibst als Produkt der Faktoren
(x^2-1)/|x^2-1| (kritisch bei +-1) und
(x^2+1)/(x^4+x^2+1) (unkritisch).
Daran siehst du, dass der erste Faktor +-1 ist je nach dem, von welcher Seite man kommt, aehnlich der signum-Funktion, in den anderen Faktor kann man x=1 einfach einsetzen und erhaelt als Funktions- und Grenzwert 2/3. Zusammen hast du also
lim x->1+ f(x)=2/3 als rechten Grenzwert und
lim x->1- f(x)=-2/3 als linken Grenzwert. Bei der Stelle -1 waer es umgekehrt.
sotux |
Christina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Januar, 2006 - 18:04: |
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Hallo,
noch mal ich. Dankeschön erst mal. Mir ist immer noch nicht ganz klar, was jetzt stimmt. Der rechtsseitige Grenzwert ist also 2/3 und der linksseitige -2/3, richtig? Weil da oben in der ersten Antwort was stand von 1 und -1...?
Danke, Christina |
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