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Kovergenz-Aufgabe

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Felix
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 14:21:   Beitrag drucken

Hallo zusammen, ich habe eine etwas umständlichere Konvergenz-Aufgabe, bei der ich kaum was verstehe. Sie sieht so aus:

Es geht um die elektrische Leistung von Heizelementen. Diese ist P=U²/R. Widerstände R sind immer positiv und niemals 0, also R>0.
Durch eine Umrechnung ergeben sich die konvergenten reellen Folgen (U(n))n€N und (R(n))n€N mit den Grenzwerten U und R. (Das n in der Klammer (n) ist immer tiefgestellt und ohne Klammer (der Index?).)
Das war die Ausgangssituation. Nun tritt eine Veränderung ein und anstelle der gegen U konvergenten Folge Un erhält er die Folge (V(n))n€N mit V(n):=(-1)^n*U(n).

Nun die Fragen:
1. Was ist für die Folgen (S(k))k€N und (F(k))k€N mit S(k):=V(2k) und F(k):=V(2k+1) in Bezug auf Konvergenz zu erwarten.

Dabei soll ich zuerst überlegen, ob die Folgen konvergieren. Falls ja, den Grenzwert bestimmen. Und danach meine Vermutung beweisen.

2.) Man hat nun wieder eine gegen R konvergente Folge (R(n))n€N. Ist die Folge P(n):=(V(n))²/R(n) kovergent?

3.) Steht dieses Ergebnis (von 2.)) in Widerspruch zu dem Satz über Summen und Produkte konvergenter Folgen?

Ich verstehe gar nichts :-(. Freue mich also über jeden Tipp.

Felix
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Sotux (Sotux)
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Senior Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 702
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 21:35:   Beitrag drucken

Hi,

Sk und -Fk sind Teilfolgen von Un und daher konvergent gegen U, d.h. Sk geht gegen U und Fk gegen -U.
Durch das Quadrieren der Vn faellt der Vorzeichenwechsel weg, d.h. Pn konvergiert gegen U^2/R.
Einen Widerspruch zu den Rechenregeln sehe ich nicht; selbst wenn Vn nicht konvergiert (wegen des Alternierens), kann Vn^2 es trotzdem tun.

sotux
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Felix
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 16. Dezember, 2005 - 21:47:   Beitrag drucken

Wow, den ersten Teil der Aufgabe habe ich doch inzwischen tatsächlich auch herausbekommen, also dass sk gegen U und Fk gegen -U geht.
Dann bin ich aber wieder gescheitert.

Danke jedenfalls erst mal, ich arbeite mich mal weiter, wenn ich noch eine Frage habe, melde ich mich wieder!
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Felix
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 19. Dezember, 2005 - 11:14:   Beitrag drucken

Noch mal ich, ich habe einige Fragen zur Terminologie.
Bei 1.) habe ich das jetzt so aufgeschrieben:

lim (k ® ¥) S(k) = lim (k ® ¥) V(2k) = lim (k ® ¥)(-1)^(2k)*U(k) = 1*U = U.
Analog:
lim (k ® ¥) K(k) = lim (k ® ¥) V (2k+1) = lim (k ® ¥) (-1)^(2k+1)*U(2k+1) = -1*U = -U.

Dies gilt jeweils nach der Regel
lim (n ® ¥)(a(n)*b(n)) = a*b.

Kann ich bei 2.) einfach schreiben:
P(n):=(V(n))²/R(n)
lim (n ® ¥)R(n)=R
lim (n ® ¥)(V(n))²=lim (n ® ¥)((-1)^n*U(n))² = lim (n ® ¥)((-1)^(2n)*(U(n))^2) = 1*U²

Oder müsste ich erst mal zeigen, dass V(n) divergiert? Und falls ja, wie mache ich das? Denn irgendwie muss ich ja noch den Bezug zur dritten Aufgabe herstellen. Vielleicht kann mir noch mal jemand helfen, wäre super!

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