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Beitrag |
    
Kerstin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Dezember, 2005 - 16:02: | 
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hallo alle zusammen!
ich muss was beweisen und ich weiß überhaupt nicht wie ich anfangen soll bzw. wie das überhaupt gehen soll. ich brauche also unbedingt eure hilfe. alleine bin ich echt aufgeschmissen. also, die aufgaben lauten folgendermaßen:
Es soll mit Hilfe vollständiger Induktion bewiesen werden:
a)Für alle n € N gilt: 7n <=(kleiner gleich) n²+12
b)Für alle natürlichen Zahlen n gilt ab n=2: n²+n+1<n³
c)Für alle natürlichen Zahlen n gilt: 7 ist Teiler von (8^n-1)
und das beste zum schluss:
d) Es soll für die Aussage "3 ist Teiler von(7^n+1)" gezeigt werden, dass der Induktionssschluss "funktioniert", und dann soll noch begründet werden, warum die Aussage nicht für alle natürlichen Zahlen n gilt.
ich hoffe ihr könnt meine verzweifelung verstehen und könnt mir vielleicht helfen. wäre echt nett.
Gruß Kerstin |
Mathe1512 (Mathe1512)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Mathe1512
Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 06-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Dezember, 2005 - 16:31: |
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Hallo!
Also Induktionsbeweise funktionieren doch immer gleich; ich versuch mich mal an Beispiel a), dann kannst du ja zumindest mal b und c probieren:
1. n=1: 7*1<=1²+12
7<=13 (wahr)
2. Annahme: 7n<=n²+12
3. n->n+1: 7*(n+1)<=(n+1)²+12
7n+7<=n²+2n+1+12
7n+7<=n²+2n+13
7n<=n²+2n+6
Also: 7n<=n²+12, d. h. 2n+6 muss >=12 sein, damit die Aussage wahr ist.
2n+6>=12 <=>n>=3, d. h. n=2 ist noch zu zeigen:
4. n=2: 7*2<=2²+12
14<=18 (wahr)
Damit ist die Aussage für alle n e N wahr.
mahte 1512 |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 685
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Dezember, 2005 - 17:34: |
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Hi,
der Schluss bei d geht genau wie bei der c):
Wenn 3 (7^n+1) teilt, dann teilt 3 auch
7^(n+1)+1=7*7^n+1=(6*7^n)+(7^n+1) (den ersten Summanden wegen dem Faktor 6, den zweiten nach Vor.).
Der Anfang stimmt aber nicht 7+1=8 wird nicht von 3 geteilt und 7^2+1=49+1=50 auch nicht !
sotux |
Kerstin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Dezember, 2005 - 11:08: |
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hallo ihr beiden!
erstmal vielen dank für eure hilfe!
ich werde das dann heute nachmittag mal probieren. ich hoffe das klappt dann auch bei mir. falls ich dann nochmal eure hilfe brauche, melde ich mich hier nochmal.
Danke
Gruß Kerstin |
Kerstin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Dezember, 2005 - 16:58: |
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Hallo!
Ich bins nochmal. Ich glaube so langsam habe ichs verstanden. Eine kurze Frage habe ich allerdings noch: Wie ist denn der Beweis durch völlständige Induktion, wenn man eine Summe hat?
z.B
Für alle n €N gilt:
a)Summe über alle 1/(i(i+1)) = n/(n+1) von i=1 bis n
b)Summe über alle(3i-2) =(3n²-n):2 von i=1 bis n
Das klappt irgendwie nicht bei mir.
Wäre schön,wenn ihr mir noch einmal helfen könnt.
Gruß, Kerstin |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 689
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Dezember, 2005 - 23:33: |
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Hi,
a) IA: 1/(1*2) = 1/2 stimmt
IS: n/(n+1)+1/((n+1)(n+2))=[n(n+2)+1]/[(n+1)(n+2)]
=(n+1)^2/[(n+1)(n+2)]=(n+1)/(n+2)
b) IA: 3-2 = 1 = (3-1)/2 stimmt
IS: (3n^2-n)/2+3(n+1)-2=(3n^2-n+6n+6-4)/2
=(3n^2+6n+3-n-1)/2=(3(n+1)^2-(n+1))/2 wzbw.
sotux |
