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Tim_ellen (Tim_ellen)
Mitglied
Benutzername: Tim_ellen
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. November, 2005 - 15:44: | 
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Hallo! Verstehe noch nicht so ganz die Automorphismengruppe einer Gruppe. Könnt ihr mir helfen?
Sei G eine Gruppe. Ein Automorphismus von
G ist ein bijektiver Gruppenhomomorphismus
G -> G. Die Menge der Automorphismen
von G wird mit Aut(G) bezeichnet.
(a)
Man zeige, dass Aut(G), versehen mit der Komposition von Abbildungen als Verknüpfung, eine Gruppe ist. Man nennt sie die Automorphismengruppe von G.
(b)
Für g element G sei K(Index g):G -> G durch
K(Index g)(X) = gxg^-1 definiert. Man zeige, dass K(index g) ein Automorphismus von G ist. Ferner zeige man, dass die Abb. K:G->Aut(G),
g->K(Index g), ein Gruppenhomomorphismus ist. Das Bild von K ist eine Untergruppe von Aut(G), die die Gruppe der inneren Automorphismen genannt und mit Inn(G) bezeichnet wird.
(c)
Man zeige, dass der Kern von K gleich dem Zentrum Z(G) von G ist:
Z(G)= (g element G I für alle x elem g: gx=xg).
Ferner zeige man, dass Inn(G) ein Normalteiler von Aut (G) ist. Den Quotienten
Out(G)=Aut(G)/Inn(G)nennt man die Gruppe der äußeren Automorphismen.
Über Anworten und Hilfe wäre ich sehr dankbar.
MfG,
Tim |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1082
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. November, 2005 - 14:56: |
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Tim,
Hinweise:
a) o stehe für Komposition. Mit f,g e Aut(G) ist auch fog e Aut(G) : fog ist bijektiv und es gilt
(fog)(xy) = f(g(xy) = f(g(x)g(y)) = f(g(x))f(g(y))
=(fog)(x)(fog)(y).
Komposition von Abbildungen ist stets assoziativ.
Für die identische Abbildung id gilt offenbar
id e Aut(G), und mit f e Aut(G) ist
auch f-1 e Aut(G). Also ist Aut(G) eine Gruppe.
b) Kg ist injektiv : Kg(x) = Kg(y) <=>
gxg-1 = gyg-1 <=> x = y.
Kg ist auch surjektiv : Sei y e G gegeben
und x = g-1yg. Offenbar ist dann Kg(x) = y.
K ist Gruppenhomomorphismus : Für alle x e G:
Kfg(x) = (fg)x(fg)-1 = f(gxg-1)f-1=
(KfoKg)(x) , d.h.: Kfg = KfoKg .
c) Kern(K) := {g e G | Kg = id}.
Kg = id <=> für alle x e G ist gxg-1 = x
<=> gx = xg <=> g e Z(G).
mfG Orion
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