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Beitrag |
    
ricky
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. November, 2005 - 19:21: | 
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könnt ihr die aufgabe bitte lösen?
Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen n>=1 und alle natürlichen Zahlen a>=0folgende Teilbarkeitsaussagen:
a) 47 I 7^(2n) - 2^n
b) 6 I a^(2n+1) - a
Dankeschön |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1481
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. November, 2005 - 19:56: |
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7^(2n) - 2^n = 49^n - 2^n =
(49 - 2) * SUM [ i = 0, n - 1 ] 49^(n-i-1) * 2^i =
47 * SUM [ i = 0, n - 1 ] 49^(n-i-1) * 2^i
fertig.
a^(2n+1) - a = a * a^(2n) - a = a*( a^(2n) - 1 ) = a*( a^n - 1 )( a^n + 1 )
n sei mal ungerade dann folgt
a*( a^n - 1 )( a^n + 1 ) = a*(a-1)(a+1) * ( SUM [ i = 0, n - 1 ] a^i ) * ( SUM [ i = 0, n - 1 ] (-1)^i * a^(n-i-1) )
6 teilt bereits a(a-1)(a+1)
fertig.
n sei jetzt gerade dann folgt:
subst. n = 2k mit k aus IN
a*( a^(2k) - 1 )( a^(2k) + 1 )
mich interessiert nur ein Teil
a*( a^(2k) - 1 ) = a*(a^2-1) * SUM [ i = 0, k-1 ] a^i
weiters:
a*(a^2-1) = a*(a-1)(a+1) und das ist durch 6 teilbar;
fertig.
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1482
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. November, 2005 - 20:02: |
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die 2te geht auch kürzer:
a^(2n+1) - a = a * a^(2n) - a = a * (a^2 - 1) SUM [ i = 0, n-1 ] a^i
weiters:
a * (a^2 - 1) = a * (a-1) * (a+1) und das ist durch 6 teilbar;
fertig.
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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