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slayter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Oktober, 2005 - 12:27: | 
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tach zusammen !
Hier hänge bestimmt schon über 2 Stunden an folgender Aufgabe und kann sie einfach niht lösen.
Aufgabe)
Sei an die Anzahl der Kaninchenpaare im Monat n. Jedes Paar von Kaninchen bringt im Monat ein neues Paar hervor. Jedes Paar gebärt erstmals im zweiten Monat nach der geburt.todesfälle bleiben unberückstichtig. Somit gilt
an+2=an+1+an
für n=1,2... mit a=1=a2=1. Zeigen Sie, dass für
n=1,2,... gilt.
an= 1/wurzel(5)*[(1+wurzel(5)/2)n -(1-wurzel(5)/2)n]
Wäre nett, wenn jemand diese Aufgabe lösen und es mir erkären könnte. Ich muss sie bis spätestens Dienstag fertig haben. Vielen Dank im Voraus. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1074
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Oktober, 2005 - 15:10: |
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Hallo,
Setze zur Abkürzung
(1+sqrt(5))/2 =: u , (1-sqrt(5))/2 =: v.
Rechne nach, dass u und v die beiden Lösungen
der quadratischen Gleichung x2 = x + 1 sind.
Die Behauptung
an = (un - vn)/sqrt(5)
stimmt für n=1 und n=2 und sei (Induktionsannahme !) für irgendwelche Indices n und n+1 schon als richtig
erwiesen . Dann ist
an+2 =
(1/sqrt(5))*[un+1+un - (vn+1+vn)]
=(1/sqrtz(5))*[un(u+1) - vn(v+1)]
=(1/sqrt(5))*[un+2 - vn+2]
Q.E.D.
mfG Orion
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