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Beitrag |
    
Dudi (Dudi)
Junior Mitglied
Benutzername: Dudi
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. September, 2005 - 18:14: | 
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brauche hilfe bei folgender aufgabe:
berechne
Int Int [y*(1 + x^2 + y^2)^(-3/2)] dxdy
beide integrale gehen jeweils von 0 bis 1.
vielen dank schonmal |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 630
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. September, 2005 - 21:35: |
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Hi,
fang doch mal damit an die Integrationsreihenfolge zu vertauschen und eine Substitution zu versuchen, z.B. mit dem was unter der Wurzel steht, also u=1+x^2+y^2 und du=2y*dy.
sotux |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1068
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. September, 2005 - 08:45: |
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Dudi,
Hinweis:
(d/dy)[(1+x2+y2)-1/2]
= - y*(1+x2+y2)-3/2
=>
ò0 1 y*(1+x2+y2)-3/2 dy =
1/sqrt(1+x2) - 1/sqrt(2+x2)
mfG Orion
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1547
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. September, 2005 - 12:44: |
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Hinweise zur Loesung:
Das erste unbestimmte Integral ist somit
-1/(sqrt(x^2 + y^2 + 1)
mit den Grenzen 0;1 ergibt sich
-1/sqrt(x^2 + 2) + 1/sqrt(x^2 + 1)
Nun muss dieser Term noch nach x integriert und die Grenzen 0:1 eingesetzt werden. Dazu muss bekannt sein, dass
int(dx/sqrt(x^2 + 1) = arsinh(x) + C, bzw.
int(dx/sqrt(x^2 + 2) = (1/sqrt(2))*arsinh(x) + C
und wegen:
arsinh(x) = ln(x + sqrt(x^2 + 1))
ist somit
int(dx/sqrt(x^2 + 1) = ln(x + sqrt(x^2 + 1)) + C
und
int(dx/sqrt(x^2 + 1) = ln(x + sqrt(x^2 + 2)) - ln(sqrt(2)) + C1
letzteres ist mit C = C1 + ln(sqrt(2)) dann
.. = ln(x + sqrt(x^2 + 2)) + C
Daher muessen die Grenzen [0;1] in den Term
- ln(x + sqrt(x^2 + 2)) + ln(x + sqrt(x^2 + 1))
eingesetzt werden, dabei erhalten wir
ln(2 + sqrt(2)) - ln(1 + sqrt(3)) = 0,2229
Bemerkung: CAS wie Abakus oder Derive berechnen dieses Doppelintegral zwar numerisch richtig, algebraisch aber teilweise ziemlich umstaendlich (das ist allgemein eine Schwaeche von CAS), sodass sie zwar eine gute Hilfe darstellen, aber an den geeigneten Stellen selbst Hand anzulegen ist. Man sollte also dabei immer wissen, was man tut.
Gr
mYthos |
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