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Beitrag |
    
Fabian
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. August, 2005 - 13:37: | 
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Hallo!
Gegeben ist folgende Funktion:
f(x,y)= 2+(2x-y-1)^2+2(x-y+2)^2
= 6x^2-8xy+3y^2+4x-6y+11
Wie kann ich die Funktionsgleichung umformen, um zu erkennen welche Gestalt die Höhenlinien für f(x,y)=c haben? (Lösung soll sein: Ellipsen)
Vielen Dank für eure Hilfe!
Fabian |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1368
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. August, 2005 - 15:31: |
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stellt das den Schnitt der Fkt. f(x,y) mit der Ebene z = c dar?
für c < 2 gibts keine Schnitte!
6x^2-8xy+3y^2+4x-6y+11 = c
3y^2 - (8x + 6)y + (6x^2 + 4x + 11 - c) = 0
y^2 - (8x/3 + 2)y + (2x^2 + 4x/3 + 11/3 - c/3) = 0
y1,2 = 4x/3 + 1 +/- sqrt( 16x^2/9 + 8x/3 + 1 - 2x^2 - 4x/3 - 11/3 + c/3 )
y1,2 = 4x/3 + 1 +/- sqrt( -2x^2/9 + 4x/3 - 8/3 + c/3 )
6x^2 + (4 - 8y)x + (3y^2 - 6y + 11 - c) = 0
x^2 + (2/3 - 4y/3)x + (y^2/2 - y + 11/6 - c/6) = 0
x1,2 = 2y/3 - 1/3 +/- sqrt(4y^2/9 - 4y/9 + 1/9 - y^2/2 + y - 11/6 + c/6)
x1,2 = 2y/3 - 1/3 +/- sqrt(-y^2/18 + 5y/9 - 31/18 + c/6)
-2x^2/9 + 4x/3 - 8/3 + c/3 >= 0
x^2 - 6x + 12 - 3c/2 <= 0
(x - 3)^2 + 3 - 3c/2 <= 0
(x - 3)^2 - (-3 + 3c/2) <= 0
[(x - 3) - sqrt(-3 + 3c/2)][(x - 3) + sqrt(-3 + 3c/2)] <= 0
- sqrt(-3 + 3c/2) <= x - 3 <= sqrt(-3 + 3c/2)
3 - sqrt(-3 + 3c/2) <= x <= 3 + sqrt(-3 + 3c/2)
-y^2/18 + 5y/9 - 31/18 + c/6 >= 0
y^2 - 10y + 31 - 3c <= 0
(y - 5)^2 + 6 - 3c <= 0
(y - 5)^2 - (-6 + 3c) <= 0
[(y - 5) - sqrt(-6 + 3c)][(y - 5) + sqrt(-6 + 3c)] <= 0
- sqrt(-6 + 3c) <= y - 5 <= sqrt(-6 + 3c)
5 - sqrt(-6 + 3c) <= y <= 5 + sqrt(-6 + 3c)
für c = 2, existiert nur ein Punkt (3|5|2) auf der Ebene z = 2
jetzt denke ich brauchst Du "nur" die Halbachsen der Ellipse noch zu bestimmen und bist fertig
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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