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Beitrag |
    
Celina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Juni, 2005 - 13:04: | 
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Ich habe da mal noch ne Frage und stelle heute glaube dann den Fragenrekord auf :-)
Es seien x1...,xn positive reelle Zahlen, deren Summe s beträgt. Man bestimme das Minimum der Funktion f(x1,..,xn) =x1^2 + ..+xn^2.
Wie berechnet man denn das Minimum von so ner Gleichung???
Als Hinweis wurde gegeben:
Man eliminiere die Nebenbedingung, in dem man eine Variable durch die anderen ausdrückt.
glg |
dirk
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Juni, 2005 - 15:55: |
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Zwischen den Zahlen x_1, ..., x_n besteht ein linearer Zusammenhang
summe[k = 1 ... n] x_k = s
sie gehen aber quadratisch in die Funktionswertberechnung ein:
f (x_1, ..., x_n) = summe[k = 1 ... n] x_k ^2
Dies legt den Verdacht nahe, dass f sein Maximum bei größtmöglicher Ungleichheit der Werte annimmt (also wenn eines der x_k den Wert s hat, die übrigen den Wert 0), und sein Minimum bei völliger Gleichheit, also x_k = s/n für alle k.
Anhand der Darstellung
f (x_1, ..., x_n)
= summe[k = 1 ... n] x_k ^2
= summe[k = 1 ... n] ( (x_k - s/n) + s/n) ^2
= summe[k = 1 ... n] ( (x_k - s/n) ^2 + 2 * (x_k - s/n) * s/n + (s/n) ^2 )
= summe[k = 1 ... n] (x_k - s/n) ^2 + 2 * s/n * summe[k = 1 ... n] x_k - 2*n* s/n * s/n + n * (s/n) ^2
= summe[k = 1 ... n] (x_k - s/n) ^2 + 2 * s/n * s - 2*n* s/n * s/n + n * (s/n) ^2
= summe[k = 1 ... n] (x_k - s/n) ^2 + s^2 / n
sieht man sofort, dass f (x_1, ..., x_n) minimal ist, wenn alle Quadrate (x_k - s/n) ^2 minimal sind, also also x_k = s/n für alle k ist.
Dies gilt übrigens für beliebige reelle Zahlen x_k, nicht nur für positive. |
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