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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1784
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Juni, 2005 - 16:21: | 
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Hallo nochmal,
Sei 1 < p < q <¥ und x € IRn
Behauptung: ||x||q £ ||x||p.
Der Sachverhalt ist eigentlich klar.
Das hatten wir schonmal mit der Jensenschen Ungleichung gezeigt.
Nun soll man das aber so zeigen:
Man bestimme für f(x)=||x||p die Extrema unter der Nebenbedingung ||x||q=1
Das heißt ja anwenden der Lagrangschen Multiplikatoren! Also definiere:
g(x)=g(x1,...,xn)=||x||p-l*(||x||q-1)
dann berechne ich:
dg/dxi=xip-1*||x||p1-p - l*(xiq-1*||x||q1-q) [i=1..n]
dg/dl=||x||q-1
Aber hier hänge ich jetzt wenn ich diese n+1 Gleichungen =0 setze und die letze in die ersten n Einsetze erhalte ich nur:
xip-1*||x||p1-p - l*(xiq-1)=0 [i=1..n]
Ich könnte die Gleichung mit xi multiplizieren, und dann über i=1..n summieren und hätte:
||x||p - l*||x||qq=0
mit der Nebenbedingung:
||x||p = l
aber was bringt mir das?? Kann ich so vorgehen?
Wie könnte ich am Ende die Behauptung damit beweisen?
mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1049
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Juni, 2005 - 09:50: |
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Ferdi,
Wenn man Deine Rechnung weiterführt und
l = ||x||p oben einsetzt, so kann man nach xi auflösen und erhÃ?lt
xi = x := (||x||p)-p/(q-p) , i=1,...,n.
Sei
x0 := (x,...,x).
Dann folgt leicht für alle x
||x||p >= ||x0||p = n1/p - 1/q > 1,
und das war zu zeigen. Um für beliebiges y die
Ungleichung ||y||q < ||y||p zu beweisen, setze
einfach x = y/||y||q .
(Beitrag nachträglich am 19., Juni. 2005 von orion editiert)
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1785
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Juni, 2005 - 13:42: |
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Hi,
danke Orion, da war ich ja fast schon am Ziel...
ärgerlich sowas!
mfg |
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