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Zylinder in n-dimensionaler Kugel

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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1781
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Juni, 2005 - 17:25:   Beitrag drucken

Hi,

habe hier einige Vorstellungsschwierigkeiten!

Sei Drn die abgeschloßen Kugel um 0 mit Radius r im IRn.

Man bestimme das maximale Volumen eines Zylinder in D1n.
Hierbei ist der Zylinder eine Teilmenge des IRn,
die kongruent zu Drn-1 x [0,h] ist, für gewisse r,h € IR+.
Weiter ist das Volumen von D1n = pn/2/G(n/2+1).

Also die Aufgabe ist ja quasi wie im Raum, aber ich kann das hier nicht übertragen.
Wie ist das Volumen eines Zylinders im IRn definiert. V=??
Das is ja zu maximieren. Irgendwie muss ich auch noch eine Beziehung zwischen Radius 1, Radius r Zylinder und Höhe herstellen, aber wie?

Das versagt bei mir die Anschauung! Hoffe ihr könnt etwas helfen!

mfg

PS: Was ist ein Parallelepiped? Dessen Volumen soll auch in D1n maximiert werden! Ist das eine Art n-dimensionaler Quader?
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1047
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 17. Juni, 2005 - 10:38:   Beitrag drucken

Ferdi,

wie wäre es mit folgendem Ansatz :

Schneide Drn mit der Hyperebene

H : xn = h/2

Die Schnittmenge ist eine (n-1)-dimensionale Hyper-
kugel

x12+...+xn-12 = r2-(h/2)2

und dem Volumen

V 1 =

p(n-1)/2(r2-(h/2)2)(n-1)/2/G(1/2+n/2)

Dann ist

V = h*V1

oder ?
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1782
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 17. Juni, 2005 - 13:48:   Beitrag drucken

Hi,

das sieht gut aus.
Man weiß ja dann r=1.
Dann hängt V nur noch von h ab und man kann differenzieren.

Es läuft doch dann drauf hinaus die Funktion:
V(h)=(1-(h/2)2)(n-1)/2 * h
auf Extrema zu untersuchen, oder übersehe ich noch was?

Im IR3 gilt ja auch für Radius der Kugel R, Radius des Zylinders r und die Höhe h:
r2+(h/2)2=R2

mfg
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1048
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 17. Juni, 2005 - 15:00:   Beitrag drucken

Ferdi,

Ich denke, Du siehst das richtig. Das Resultat ist
nach meiner Rechnung

h0 = 2r/sqrt(n).
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1783
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Juni, 2005 - 13:25:   Beitrag drucken

Hi Orion,

danke für deine Hilfe.
Ich bekomme dasselbe Ergebniss!

mfg

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