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Funktionalgleichung

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Fraggy (Fraggy)
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Junior Mitglied
Benutzername: Fraggy

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Juni, 2005 - 20:13:   Beitrag drucken

N'Abend miteinander!

Ich hab grad wohl irgendwie ne Denkblockade, mir fällt keine Lösung zu dieser Aufgabe ein, dabei sah die so einfach aus...Könnt ihr mir wohl bitte weiterhelfen?

Bestimme alle zweimal differenzierbaren Funktionen f:IR->IR, die der Funktionalgleichung f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) (x,y€IR) genügen.
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1041
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Juni, 2005 - 18:43:   Beitrag drucken

Fraggy,

Ich glaube nicht, dass das soo einfach ist. Triviale
Lösungen sind sicher f(x)=0 und f(x)=1. Dann
erkennt man bei scharfem Hinsehen aber auch
noch die Funktionalgleichung des Cosinus, d.h.
f(x) = cos x ist eine Lösung (Additionstheorem !)
mfG Orion
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1042
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 13. Juni, 2005 - 08:36:   Beitrag drucken

Fortsetzung :

Man erkennt leicht, dass

f(0) = 1 und f'(0) = 0

sein muss. Differenziere nun die Funktionalgleichung
zuerst nach x , dann nach y und addiere beide
Resultate. Es folgt

f'(x+y) = f'(x)f(y) + f(x)f'(y).

Leite dies nochmals nach y ab :

f''(x+y) = f'(x)f'(y) + f(x)f''(y)

und setze hierin y = 0. Zur Abkürzung sei f''(0) =: c
gesetzt. Damit haben wir die Differentialgleichung

f''(x) = c f(x),

und deren Lösungsmenge ist ja wohlbekannt. Dies als
Hinweis !
mfG Orion

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