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Fraggy (Fraggy)
Junior Mitglied Benutzername: Fraggy
Nummer des Beitrags: 9 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 11. Juni, 2005 - 20:13: |
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N'Abend miteinander! Ich hab grad wohl irgendwie ne Denkblockade, mir fällt keine Lösung zu dieser Aufgabe ein, dabei sah die so einfach aus...Könnt ihr mir wohl bitte weiterhelfen? Bestimme alle zweimal differenzierbaren Funktionen f:IR->IR, die der Funktionalgleichung f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) (x,y€IR) genügen. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1041 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Juni, 2005 - 18:43: |
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Fraggy, Ich glaube nicht, dass das soo einfach ist. Triviale Lösungen sind sicher f(x)=0 und f(x)=1. Dann erkennt man bei scharfem Hinsehen aber auch noch die Funktionalgleichung des Cosinus, d.h. f(x) = cos x ist eine Lösung (Additionstheorem !) mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1042 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 13. Juni, 2005 - 08:36: |
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Fortsetzung : Man erkennt leicht, dass f(0) = 1 und f'(0) = 0 sein muss. Differenziere nun die Funktionalgleichung zuerst nach x , dann nach y und addiere beide Resultate. Es folgt f'(x+y) = f'(x)f(y) + f(x)f'(y). Leite dies nochmals nach y ab : f''(x+y) = f'(x)f'(y) + f(x)f''(y) und setze hierin y = 0. Zur Abkürzung sei f''(0) =: c gesetzt. Damit haben wir die Differentialgleichung f''(x) = c f(x), und deren Lösungsmenge ist ja wohlbekannt. Dies als Hinweis ! mfG Orion
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