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Stylar (Stylar)
Mitglied
Benutzername: Stylar
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Juni, 2005 - 17:13: | 
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Hallo zusammen.
Ich hocke hier über einer Aufgabe, die mich so langsam zur Verzweiflung bringt. Könnt ihr mir helfen?
a) Bestimme alle zweimal diffbaren Fkten y:]0,oo[->]0,oo[ mit nullstennenfreier zweiter Ableitung und folgender Eigenschaft: Für jedes x>0 bilden die positiven Koordinatenachsen mit der Tangente an den Graphen von y im Punkte (x,y(x)) ein Dreieck mit von x unabhängigem Flächeninhalt c>0.
b) Verlangt man unter a) nur die einmalige Diffbarkeit von y, so hat das entsprechende modifizierte Problem unendlich viele Lösungen. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1037
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Juni, 2005 - 18:31: |
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Stylar,
Hinweis:
Die Tangente an die fragliche Kurve im variablen
Punkt (x,y(x)) schneidet die x-Achse in
A = (x-y(x)/y'(x) , 0 )
und die y-Achse in
B = (0, y(x) - x y'(x)).
Die Fläche von OAB ist also
= (1/2)(x-y(x)/y'(x))(y(x)-xy'(x)).
Dies soll konstant = c sein. Das führt auf die Differentialgleichung (Dgl.)
(xy'-y)2 + 2cy' = 0.
Differenziert man dies, so kommt
y''(xy'-y) + cy'' = 0
Nimmt man an, dass y'' ‡ 0 ist, so bleibt
xy' - y + c = 0.
Diese Dgl. ist leicht zu lösen.
mfG Orion
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Stylar (Stylar)
Mitglied
Benutzername: Stylar
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Juni, 2005 - 21:36: |
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Danke für die schnelle Antwort.
Ich verstehe allerdings nicht, durch welche Rechnung du die Schnittstellen ermittelt hast. Ich mein, die Nullkoordinaten sind schon klar, aber beim Rest komm ich grad nicht dahinter. Wäre nett, wenn du mir das noch erklären könntest. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1038
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. Juni, 2005 - 07:00: |
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Stylar,
die Gleichung der Tangente im Punkt (x,y(x)) lautet
Y = y(x) + y'(x)(X-x)
(X,Y sind die laufenden Koordinaten). Für A setze Y=0,
für B setze X=0.
mfG Orion
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Stylar (Stylar)
Mitglied
Benutzername: Stylar
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Juni, 2005 - 14:10: |
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Eine Frage hab ich jetzt immer noch. Ich hab die Aufgabe jetzt nachgerechnet, erhalte aber bei der Differenzierung
xy''(xy'-y)+cy''=0 und nicht wie bei dir
y''(xy'-y)+cy''=0.
Ich rechne doch
2*(xy'-y)*(xy''+y'-y')+2cy''=0
(xy'')*(xy'-y)+cy''=0
Und dann kann ich doch nicht einfach y'' wegfallen lassen. Oder hab ich mich beim Ableiten verrechnet? |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1040
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Juni, 2005 - 14:39: |
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Stylar,
Nein, Du hast Dich nicht verrechnet (ich habe versehentlich x verloren), so haben wir also
y''[(x2y'-xy)+c] = 0 => x2y' - xy + c = 0
denn es soll ja y''‡0 sein !
Die letztere Dgl. ist aber äquivalent mit
x3*(d/dx)(y/x) + c = 0
<=> (d/dx)(y/x) = c x-3
etc.
mfG Orion
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