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Ersti (Ersti)
Junior Mitglied
Benutzername: Ersti
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 04-2005
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Juni, 2005 - 22:09: | 
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Das regelmäßige Fünfeck hat die eingezeichneten Symmetrieachsen sowie fünf Deckdrehungen.
a) Geben sie die Deckdrehungen an und stellen Sie eine allgemeine Formel für die Verknüpfung zweier Deckdrehungen auf.
b) Führen sie eine geeignete Bezeichnung der Spiegelachsen und der Spiegelungen ein. Entwickeln Sie Formeln für die Verknüpfung zweier Spiegelungen sowie für die Verknüpfung Drehung ï¯ Spiegelung, indem Sie jeweils geeignete Gleichungen aufstellen. Illustrieren Sie die Notwendigkeit der „Korrekturfunktionen“ [ ] und < > anhand jeweils eines geeigneten Beispiels.
c) Die Deckabbildungen des regelmäßigen Fünfecks bilden eine Gruppe. Geben Sie alle Untergruppen dieser Gruppe an.
d) Beweisen Sie, dass es keine Untergruppen mit genau drei Elementen gibt.
e) Beweisen Sie, dass es keine Untergruppe mit genau zwei Elementen gibt, die nur aus Drehungen besteht. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5136
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Juni, 2005 - 09:30: |
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Hi Ersti
Ein typischer Fall einer Anfrage,die kaum zu bearbeiten ist.
Der Fragenkatalog ist ueberladen.
Ferner sind wir über Deine Grundkenntnisse nicht im Bild.
Wir wissen nicht,welches Deine Kanntnisse bezüglich der Untergruppen sind.
Welche Bezeichnungen verwendest Du?
Ich müchte mich nicht an einem Leerlauf beteiligen.
Gruss
HRM,megamath |
Ersti (Ersti)
Junior Mitglied
Benutzername: Ersti
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 04-2005
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Juni, 2005 - 11:51: |
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Mhh das der fragenkatalog Überladen ist, tutu mir Leid.
Dann einfach eine Frage die allgemeiner ist:
Gibt es eine "Art und Weise" wie man im Allgemeinen an solch eine Frage heran gehen kann???
AnsÜtze und dergleichen? Angenommen ich hab Vorkenntnisse die die Untergruppen betreffen... ???
Mit freundlichen GrÜÜen |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5137
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Juni, 2005 - 16:24: |
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Hi Ersti
Dass ich in meinem letzten Beitrag Kenntnisse durch Kanntnissse ersetzt habe,
ist nicht schlecht.
Es freut mich, dass Du auf meine Anfragen geantwortet hast.
Ich werde versuchen, an zwei einfacheren Beispielen, die einigermassen
überschaubar sind, zu zeigen, wie man vorgehen kann.
Ich wähle dazu die Kongruenzabbildungen (Synonym zu Deckabbildungen)
des regulären Dreiecks und des Quadrats.
Wir merken uns bezüglich der Untergruppe:
Zwei Untergruppen lassen sich a priori angeben;
einerseits die gegebenen Gruppe selbst, andrerseits die Gruppe,
die nur aus dem Einselenment E besteht.
Diese beiden Untergruppen werden als uneigentliche Untergruppen
bezeichnet. Die übrigen heissen eigentliche Untergruppen.
Damit eine Teilmenge g der gegebenen endlichen Gruppe G
eine Untergruppe ist,
ist notwendig und hinreichend: g enthält mit zwei Elemente a und b
auch das Produkt a b.
Hilfreich ist der folgende Satz für endliche Gruppen:
Die Ordnung einer Untergruppe ist ein Teiler der Gruppenordnung.
Fortsetzung folgt morgen.
Gruss
HRM,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5140
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Juni, 2005 - 17:08: |
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Hi Ersti
Kennst Du den Begriff des Gruppengraphen ??
Damit lassen sich die Untergruppen unserer
Kongruenzgruppen darstellen.
MFG
HRM,megamath |
Ersti (Ersti)
Junior Mitglied
Benutzername: Ersti
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 04-2005
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Juni, 2005 - 21:49: |
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Vielen Dank,
ich habe mir nun das buch des herrn professpr geholt, und mithilfe der ansÜtze hoffe ich doch stark den stoff bis ende juli verinnerlicht zu haben.. ich werd aber die ein oder andere fragen sicherlich noch stellen.. ;) |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5141
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Juni, 2005 - 09:23: |
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Hi Ersti
Das sind gute Vorsätze. Wenn Du Fragen hast, melde Dich in diesem Forum
Damit bei der Beantwortung der Fragen keine Unstetigkeitsstellen entstehen,
wäre es hilfreich für alle Beteiligten, wenn Du bezüglich des Lehrbuches
Angaben über den Verfasser und den Verlag machen könntest.
Gruss
HRM,megamath |
Ersti (Ersti)
Junior Mitglied
Benutzername: Ersti
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 04-2005
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Juni, 2005 - 20:31: |
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das buch, welches mich in die bestimmt interessanten hintergrÜnde der mathematik fÜhren mÜchte heisst wie folgt:
"EinfÜhrung in die mathematik II"
verfasser: martin stein
isbn 3-8274-0196-8
soviel dazu. ich werde mich nun damit 100%tig befassen und wohl oder Übel es begreifen mÜssen.. ;)
jedoch vielen dank fÜr hr angebot mich dennoch mal bei ihnen melden zu dÜrfen.. ;) vielen dank |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5142
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Juni, 2005 - 20:48: |
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Hi Erstl
Danke für Deine Mitteilungen! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5143
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Juni, 2005 - 20:49: |
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Hi Ersti
Es folgt ein kleiner Vorkurs zu Deinem Vorhaben.
In Teil I soll die Gruppe G3 der Deckabbildungen des
regulären Dreiecks untersucht werden, insbesondere
deren Untergruppen.
G3 hat 6 Elemente, wie wir leicht feststellen können.
Für die Elemente wählen wir einfache (nicht indizierte) Buchstaben,
etwa
I,P,Q,R ,S,T.
I steht für das Einselement (Identität); I könnte übrigens als Drehung
mit dem Drehwinkel 0 aufgefasst werden.
Aus Gründen der Zweckmäßigkeit nehmen wir diese spezielle Drehung
aus der Mange der Drehungen heraus.
Die Ecken des Dreiecks in der Ausgangslage(Ruhelage) seien mit den
Ziffern 1,2,3 bezeichnet.
P bedeutet: Umklappung des Dreiecks um die Mittelsenkrechte der Seite 12,
welche (klar) durch 3 geht.
Es passiert dabei folgendes:
(123) -> (213): wo vorher 1 stand, steht 2, wo vorher 2 stand, steht 1,
3 ist Fixpunkt
Q bedeutet: Umklappung des Dreiecks um die Mittelsenkrechte der Seite 31,
welche (klar) durch 2 geht.
Es passiert dabei folgendes:
(123) -> (321): wo vorher 1 stand, steht 3, wo vorher 3 stand, steht 1,
2 ist Fixpunkt.
R bedeutet: Umklappung des Dreiecks um die Mittelsenkrechte der Seite 23,
welche (klar) durch 1 geht.
Es passiert dabei folgendes:
(123) -> (132): wo vorher 2 stand, steht 3, wo vorher 3 stand, steht 2,
1 ist Fixpunkt.
S bedeutet: Drehung um den Mittelpunkt des Dreiecks, Drehwinkel 120°
(im Gegenuhrzeigersinn).(123)->(231)
T bedeutet: Drehung um den Mittelpunkt des Dreiecks, Drehwinkel 240°
(im Gegenuhrzeigersinn);M(123)->(312)
Beispiel
S ° Q = R bedeutet: zuerst ist Q, danach S auszuführen.
Die hintereinander ausgeführten Abbildungen ergeben R.
Bezüglich der Gruppentafel gilt: im Schnittpunkt der Zeile mit der Bezeichnung S
mit der Spalte mit der Ueberschrift Q steht R
Weitere Beispiele
P ° Q = T
S ° T = T ° S = I.
usw.
G3 ist eine nicht kommutative Gruppe der Ordnung 6.
Fortsetzung folgt.
Gruss
HRM,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5144
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Juni, 2005 - 21:10: |
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Hi Ersti
In einer Fortsetzung des ersten Teils ist von den Untergruppen
der Gruppe G3 aus dem letzten Abschnitt die Rede.
Das Resultat sei vorweggenommen:
es gibt im Ganzen 6 Untergruppen:
die beiden uneigentlichen Untergruppen:
die eine besteht aus der Identität allein, die andere ist die gegebene
Gruppe G3 selbst.
Von den übrigen 4 Untergruppen, den eigentlichen, gibt es
drei mit je zwei Elementen und eine mit drei Elementen.
Untergruppen mit 4 oder 5 Elementen gibt es nicht, da diese Zahlen zur
Gruppenordnung 6 teilerfremd sind.
Im Détail:
Untergruppe mit einem Element U1: {I}
Untergruppen mit je 2 Elementen: U2: {I,P}; U3: {I,Q}; U4 :{I,R}
Untergruppe mit 3 Elementen:U5: {I,S,T}.
Untergruppe mit 6 Elementen: U6: {I,P,Q,R,S,T}
Wie findet man die eigentliche Untergruppen
Wir fragen:
Welche Kongruenzabbildungen lassen eine bestimmte Ecke oder
eine bestimmte Seite des Dreiecks fest (invariant).
Antwort 1: die Ecke 1 bleibt fest; ausser bei der identischen Abbildung I, ist dies
bei der Spiegelung an der Mittelsenkrechten der Seite 23,
also bei der Abbildung R, der Fall.
Wir erhalten die Untergruppe U4 (warum ist das wirklich eine Gruppe?)
Antwort 2: die Ecke 2 bleibt fest; ausser bei der identischen Abbildung I, ist dies
bei der Spiegelung an der Mittelsenkrechten der Seite 31,
also bei der Abbildung Q, der Fall
Wir erhalten die Untergruppe U3(warum ist das wirklich eine Gruppe?).
Antwort 3: die Ecke 3 bleibt fest; ausser bei der identischen Abbildung I, ist dies
bei der Spiegelung an der Mittelsenkrechten der Seite 12,
also bei der Abbildung P, der Fall
Wir erhalten die Untergruppe U2(warum ist das wirklich eine Gruppe?).
Frage bezüglich invarianter Seiten;
Welche Kongruenzabbildungen lassen eine bestimmte Seite des Dreiecks fest?
Das gibt keine neuen eigentlichen Untergruppen, warum nicht?
Letzte Frage: wir suchen alle Bewegungen der G4, die den Drehsinn
invariant lassen
Diese Frage soll im nächsten Beitrag beantwortet werden.
Gruss
HRM,megamath |
Ersti (Ersti)
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Benutzername: Ersti
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 04-2005
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Juni, 2005 - 23:06: |
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erst einmal. vielen dank. vor allem fÜr diese ausfÜhrliche antwort. vor allem aber dass sie sich solch mÜhe (fÜr mich) geben... ich bin .. sprachlos... nochmals vielen dank jetzt schon einmal!!!!!!!!!!!
florina |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5145
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Juni, 2005 - 21:14: |
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Hi Fiorina
In diesem Abschnitt des ersten Teils sollen
die in meinem letzten Beitrag gestellten
Fragen beantwortet und neue Fragen gestellt werden.
Ein Hilfssatz wird uns behilflich sein.
Er lautet:
Das Produkt zweier Spiegelungen ist eine Drehung.
Drehzentrum ist der Schnittpunkt der Spiegelungsachsen.
Der Drehwinkel ist der doppelte Wert des Schnittwinkels der Spiegelungsachsen
So ist bei der Gruppe G3 das Produkt P ° Q = T.
Der Winkel der Spiegelungsachsen p, q ist 120°; also erhalten wir T,
dessen Drehwinkel bekanntlich 240° beträgt.
So ist bei der Gruppe G3 das Produkt P ° R = S.
Der Winkel der Spiegelungsachsen p, r ist 60°; also erhalten wir S,
dessen Drehwinkel bekanntlich 120° beträgt.
So ist bei der Gruppe G3 das Produkt Q ° R = T.
Der Winkel der Spiegelungsachsen q, r ist 120°; also erhalten wir T,
dessen Drehwinkel bekanntlich 240° beträgt.
Die Quadrate P ° P, Q ° Q, R ° R liefern als Resultate je die Identität I
Wie kann die Untergruppe U5={I,S,T} ermittelt werden?
Beachte das Folgende.
Die Deckabbildungen P, Q und R ,einzeln angewendet, ändern den Umlaufsinn
des Dreiecks.
Treten diese Spiegelungen allgemein in ungerader Anzahl auf,so stellt sich
gegenüber der Ausgangslage der Drehsinn.geau einmal um.
Wir überlegen nun so:
Alle Deckbewegungen in G3, die den Drehsinn des Ausgangsdreiecks
nicht verändern (das sind außer der Identität I die Drehbewegungen
S,T, nicht aber die Umklappungen P,Q,R) ergeben eine Untergruppe, eben die Untergruppe U5.
Denn verknüpft man zwei derartige Bewegungen, d.h. führt man sie
nacheinander aus, so entsteht als Resultat eine Abbildung, die bezüglich
des Drehsinns mit denjenigen der Ausgangsbewegung übereinstimmt.
Dies bedeutet: mit a, b gehört auch des Produkt a ° b zur Menge G5.
Das Kriterium für den Nachweis, dass der Menge G5 eine Untergruppe ist,
ist erfüllt.
Die Menge der Bewegungen, die den Drehsinn vertauschen,
ergibt keine Untergruppe.Denn die Verknüpfung von zwei solchen Bewegungen,
ändert den Drehsinn nicht
Das Produkt a ° b gehört in diesem Fall nicht
zur betrachteten Menge.
Zwei kleine Schlussaufgaben:
Bestätige mit verschiedenen Methoden
a) I ° P ° Q ° R ° S ° T = Q b) Q ° R ° S = I
c ) warum ist P ° S ° P = Q falsch ?
Gruss
HRM,megamath |
Ersti (Ersti)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 19:26: |
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WOW ich kann mir kaum vorstellen, dass ich das auch bald wissen.. sollte... das alles kommt mir zwar logisch vor, aber alleine wÜre ich mit meinem jetzigen wissen nie (!) zu einer ansatzweisen richtigen lÜsung gekommen.. dankeschÜn!!! |
Megamath (Megamath)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 21:45: |
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Hi ersti
Morgen geht es gleich weiter.
Ich habe das Buch bestellt.
Wenn ich es habe,geht es richtig los!
Gruss
HRM,megamath |
Ersti (Ersti)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 21:59: |
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Kann ich mich nun total freuen oder mÜsste ich ein schlechtes gewissen haben fÜr die ganzen umstÜnde die ich bereite??! aber auf jeden fall freue ich mich in erster linie... VIELEN DANK!!! zumxten mal aber tja vielen dank einfach!!! |
Megamath (Megamath)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Juni, 2005 - 14:28: |
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Hi Ersti
Zu den kleinen Stichfragen
a) I ° P ° Q ° R ° S ° T = Q b) Q ° R ° S = I
c ) warum ist P ° S ° P = Q falsch ?
Wegen des Assoziativgesetzes können wir die Faktoren zusammenfassen,
wie wir wollen.
Wir berechnen b): Die Gruppentafel gibt
R ° S = Q und Q ° Q = I, fertig
zu a): Q ° R ° S kommt im Produkt als Teilprodukt vor!
Es bleibt
I ° P ° I ° T = P ° T = Q
zu c:
Da in P ° S ° P genau zwei Spiegelungen aufreten,
bleibt im Gesamtprodukt der Drehsinn erhalten.
Das angegebene Resultat Q ist aber eine Spiegelung
und ändert den Drehsinn
Richtig muss rechts T, eine Drehung, stehen.
Gruss
HRM,megamath |
Megamath (Megamath)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Juni, 2005 - 16:53: |
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Hi Florina
Zum Schluss dieses ersten Teils, in dem ich mich mit der Gruppe G3
des regulären Dreiecks befasste, kommen Aufgaben, die sich auf
die Untergruppen von G3 beziehen..
.Sie erfordern einiges an Überlegungskraft
und entsprechen den Fragen in Deiner Aufgabe über das reguläre Fünfeck.
Die Lösungen folgen im Anschluss.
Die Aufgaben selbst dienen Instruktionszwecken.
1. Aufgabe
Beweise:
Eine Untergruppe von G3 kann nicht genau eine Drehung enthalten.
Lösung
Beachte: das Quadrat einer Drehung gibt die jeweils andere Drehung!
Nach den Vorschriften einer Untergruppe muss das Quadrat eines Elementes
der Untergruppe angehören.
Damit enthält die Untergruppe bereits zwei Drehungen,
im Widerspruch zur Voraussetzung.
Gruss HRM,megamath |
Ersti (Ersti)
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Juni, 2005 - 19:49: |
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Hallo und guten Abend!
Ja klar das ist logisch.Das leuchtet mir auch ein. HÜtt ich aber auch irgendwie selbst drauf kommen kÜnnen..oder?!
florina |
Ersti (Ersti)
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Juni, 2005 - 21:52: |
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Hallo. Ich hab mir das Buch von dem Herrn Stein mal genauer angeguckt. nicht nur das thema geometrie.. Wenn es ok ist wÜrd ich gern dazu so an die 2-3 fragen stellen?? die ich auch mit hilfe des buches nicht nachvollziehen kann, die aber, wie ich vermute fÜr die klausur sehr wichtig zu sein scheinen... grundwissen!!! KÜnnten sie mir da auch eventuell weiterhelfen?? zu allgemeinen fragen, wie deckabbildung und wie man was dreht damit am ende ein D120 beispielsweise heraus kommt??! das wÜre sehr nett!!! und vor allem total hilfreich fÜr mich...florina |
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