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Nice2cu2 (Nice2cu2)
Junior Mitglied
Benutzername: Nice2cu2
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 04-2005
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Mai, 2005 - 19:55: | 
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Wählen Sie die unten angegebenen Bezeichnungen für die Spiegelachsen und stellen Sie die Verknüpfungstafel auf für
a) die Deckabbildungen eines Rechtecks, das kein Quadrat ist.
(b) Bestimmen Sie zu der Gruppe aus Aufgabe 1a) alle Untergruppen.
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1439
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Mai, 2005 - 21:45: |
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Hallo,
hier werden offensichtlich Dinge aus einer Vorlesung vorausgesetzt, die mir nicht genau bekannt und daher auch erst zu erklären sind.
Bei dieser Aufgabe soll die Verknüpfungstafel für die Deckabbildungen eines Rechtecks, das kein Quadrat ist, aufgestellt werden. Wozu ist dann die Zeichnung des Quadrates auf der rechten Seite?
Ich versuche dennoch mal, für 1.a die Gruppentafel aufzustellen, das Verknüpfungszeichen ist "o", d.h. Hintereinanderausführen.
Die Menge der Abbildungen ist {I, S1, S2, D1}, d.s. die identische Abbildung, die Spiegelungen an den Achsen g1, g2 und die Drehung des Rechteckes um seinen Mittelpunkt um 180° (D_180, ich setze diese dann D1).
S1 o S1 = I (identische Abbildung)
S2 o S2 = I
S1 o S2 = D_180 = D1
S2 o S1 = D(-180) = D1
S1 o D1 = S2
S2 o D1 = S1
D1 o D1 = I
-----------------------------------
Kommutativität: Gilt!
Zu jedem Element gibt es sein inverses Element
z.B. ist
S1' = S1
D1' = D1
-----------------------------------------------
Gruppentafel
o ... | I .. S1 .. S2 .. D1
------------------------------
I .... | I .. S1 .. S2 .. D1
S1 .. | S1 . I ... D1 .. S2
S2 .. | S2 . D1 .. I ... S1
D1 .. | D1 . S2 .. S1 .. I
Wir erkennen an Hand der Gruppentafel, dass die Menge gegenüber der Verknüpfung o abgeschlossen und die Verknüpfung assoziativ ist, ein neutrales Element I und zu jedem Element sein inverses existiert und Kommutativität besteht. Also liegt eine Abel'sche (kommutative) Gruppe vor.
1.b
Untergruppen müssen ebenfalls die o.a. Eigenschaften aufweisen, wobei diese UGr nicht abel'sch sein müssen.
Gr
mYthos |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5134
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Juni, 2005 - 11:17: |
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Hy Mythos
Danke für Deinen interessanten Beitrag!
Es war an der Zeit, dass die Anfänge der
Gruppentheorie wieder aufgegriffen wurden,
besonders ihre Anwendung auf Kongruenzabbildungen.
Analoges hatte ich vor kurzem selber versucht, natürlich
ohne ein Echo zu bekommen.
Die fehlende Resonanz ist die crux für die gegenwärtige
Tiefform von Zahlreich, die ich ,wie viele Andere, sehr bedaure.
Damit dieser kleine Beitrag doch noch etwas mit Mathematik zu tun
hat, folgen noch ein paar Bemerkungen zum Begriff der Untergruppe.
Ich habe Deine Bemerkung zu 1b) nicht ganz verstanden.
Ich meine, wenn eine Gruppe abelsch ist, trifft das für jede
eigentliche Untergruppe dieser Gruppe zu.
Ich brauche meistens die folgenden Kriterien zur Feststellung,
ob eine Teilmenge der gegebenen Gruppe ein Untergruppe darstellt.
Notwendig und hinreichend, damit eine nichtleere Teilmenge g einer
gegebenen Gruppe eine Untergruppe ist, sind die beiden folgenden
Bedingungen
1.
g enthält mit je zwei Elementen a , b auch das Produkt a b
2.
g enthält mit jedem Element a auch das inverse Element.
Ist insbesondere g endlich, so ist die zweite Bedingung sogar überflüssig.
Allgemein kann man die beiden Bedingungen 1. und 2.
sogar in einer einzigen Bedingung zusammenfassen.
Diese Bedingung lautet:
g muss mit a und b auch das Produkt aus a und dem Inversen von b
enthalten!
Gr.
HRM |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1441
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Juni, 2005 - 16:56: |
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Hi HRM,
es ist natürlich klar, dass jede UGr einer abel'schen Gruppe wiederum abel'sch sein muss. Ich hätte eigentlich besser sagen sollen, dass nicht gefordert war, dass die Hauptgruppe abel'sch sein muss, sohin müssen dies auch nicht die Untergruppen sein.
Leider hat Nice2cu2 ohnehin nicht mehr reagiert, sodass ich mich auch in ihre weiteren Fragen nicht mehr involvieren werde.
An dieser gravierenden Unhöflichkeit der Fragenden krankt an sich ja jedes Forum, zur Zeit wird es aber eklatant.
Wenn sich hier in absehbarer Zeit weiter nichts ändert, werde ich wahrscheinlich weniger motiviert hier verweilen, leider ... . Es tut mir nur leid um dieses ansonsten gute Forum. Wir sehen uns ja mittlerweile auch auf anderen Spielwiesen ;-)
Gr
mYthos |
Nice2cu2 (Nice2cu2)
Junior Mitglied
Benutzername: Nice2cu2
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 04-2005
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Juni, 2005 - 23:41: |
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hallo.
jsa das stimmt ich habe mich nicht mehr gemeldet. tut mir leid (mythos). mein pc war kaputt und hab nun einen neuen. soviel dazu.
es stimmt, die erste aufgabe meinerseits stammt aus einer vorlesung, die ich wegen eines krankenhausaufenthalts nciht wahrnhemen konnt und habe somit gehofft, das man mir hier zur klarheit verhelfen wird. aber so wie ich das verstehen hat da so jeder (professor) so seine eienen methoden??
ich bedanke mich nochmals dennoch fÜr die mÜhen!!! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1443
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Juni, 2005 - 22:19: |
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Hallo Nice2cu2,
ok, es tut mir leid, dass ich dir Unrecht getan habe; leider gibt es tatsächlich eine große Zahl der Fragesteller, die nach getaner Hilfe kein Feedback mehr geben.
Nun, es stimmt auch, dass jeder Professor seine Vorlesungen individuell gestaltet. Das gilt weniger für die Materie (den Lerninhalt) an sich, denn Theorie bleibt nun mal Theorie, jedoch wird diese mit verschiedenen Methoden und verschiedenen Bezeichnungen aufbereitet. Daher sollte für die Interpretation der Aufgabenstellung möglichst das Skriptum zur Verfügung stehen.
Gr
mYthos |
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