| Autor |
Beitrag |
    
Shan22 (Shan22)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Shan22
Nummer des Beitrags: 59
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Mai, 2005 - 11:03: | 
|
hallo zusammen,
habe mal eine frage zu folgendem problem, wie man das zeigen kann:
Die Anzahl der Eier die ein Insekt legt sei poissonverteilt zum paramter L>0 wobei L:= Lambda.
Aus jedem der sich voneinander unabhängig entwickelten eier schlüpfte mit wahrscheinlichkeit p Element {0,1} eine larve.
die anzahl der geschlüpften larven ist poissonverteilt zum paramter pL.
das soll gezeigt werden..
danke,gruss |
dirk
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Mai, 2005 - 09:31: |
|
Sei X = Anzahl der Eier, Y = Anzahl der Larven, und für alle natürlichen Zahlen n sei Y[n] = Anzahl der Larven bei n Eiern.
Damit genau k Larven schlüpfen, müssen mindestens n Eier gelegt worden seien. Die Wahrscheinlichkeit P(X = k) entspricht also der Summe
(1) P(Y = k) = S[n = k ... oo] P(X = n) * P(Y[n] = k)
wobei = S[n = k ... oo] die Summe (Sigma) von n = k bis unendlich bedeutet (Achtung: Hier wird ausnahmsweise mal über n summiert, während k fest ist!).
Da X Poisson-verteilt ist mit Parameter L gilt
(2) P(X = n) = L^n / n! * e^(-L)
Andererseits ist Y[n] binomialverteilt mit den Parametern n und p:
(3) P(Y[n] = k) = n! / (k! * (n-k)!) * p^k * (1-p)^(n-k)
Zu zeigen ist, dass Y Poisson-verteilt ist mit Parameter L*p:
(*) P(Y = k) = (L*p)^k / k! * e^(-L*p)
Setzt man (2) und (3) in (1) ein, so erhält man
(4) P(Y = k) = S[n = k ... oo] L^n / n! * e^(-L) * n! / (k! * (n-k)!) * p^k * (1-p)^(n-k)
Darin lässt sich n! herauskürzen, und alle Faktoren, die nicht von n abhängen, können vor das Summenzeichen gestellt werden:
(5) P(Y = k) = e^(-L) / k! * p^k * S[n = k ... oo] L^n / (n-k)! * (1-p)^(n-k)
Durch Indextransformation i := n-k in der Summe erhält man
(6) P(Y = k) = e^(-L) / k! * p^k * S[i = 0 ... oo] L^(i + k) / i! * (1-p)^i = e^(-L) / k! * p^k * L^k * S[i = 0 ... oo] L^i / i! * (1-p)^i
Die Summe lässt ich durch die e-Funktion ausdrücken:
(7) S[i = 0 ... oo] L^i / i! * (1-p)^i = S[i = 0 ... oo] (L*(1-p))^i / i! = e^(L*(1-p))
Setzt man (7) in (6) ein , so erhält man
(8) P(Y = k) = e^(-L) / k! * p^k * L^k * e^(L*(1-p)) = (L*p)^k / k! * e^(-L*p)
was zu zeigen war (*). |
|
