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Integral mit trigonometrischen Funkti...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5126
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 20:12:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Die Integral-Aufgabe VII ist nicht einfach, vor allem
bereiten die Konstanten etwas Muehe

Man bestimme eine Stammfunktion von f(x) mit
f(x) = [cos(x) ^2] / [a^2 + b^2 * (sin x) ^2 ]

Hinweis: ich bin mit der Substitution tan x = u
durchgedrungen!

Gruss
H.R.Moser,megamath
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1332
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 21:49:   Beitrag drucken

f(x) = [(cos x)^2] / [a^2 + b^2 * (sin x)^2 ]

t = tan(x)
dt = 1/(cos x)^2 dx
dt / ( 1/(1 + t^2) ) = dx

t^2 = (sin x)^2/(cos x)^2
(cos x)^2 t^2 = (sin x)^2
(1-(sin x)^2) t^2 = (sin x)^2
t^2 = (sin x)^2 * (1 + t^2)
t^2/(1 + t^2) = (sin x)^2
1/(1 + t^2) = (cos x)^2

damit wird das zu

int [ dt / ( 1/(1 + t^2) ) * 1/(1 + t^2) / ( a^2 + b^2 * t^2/(1 + t^2) ) ] =

int [ (1 + t^2) / ( a^2 * (1 + t^2) + b^2 * t^2 ) dt ] =

int [ (1 + t^2) / ( a^2 + a^2t^2 + b^2t^2 ) dt ] =

int [ (1 + t^2) / ( a^2 + (a^2+b^2)t^2 ) dt ] =

1/(a^2+b^2) int [ (1 + t^2) / ( a^2/(a^2+b^2) + t^2 ) dt ] =

1/(a^2+b^2) int [{1 + (b^2/(a^2+b^2)) / ( a^2/(a^2+b^2) + t^2 )} dt ] =

1/(a^2+b^2) int [{1 + b^2 / ( a^2 + (a^2+b^2)*t^2 )} dt ] =

1/[a^2(a^2+b^2)] int [{a^2 + b^2 / ( 1 + (1+b^2/a^2)*t^2 )} dt ] =

1/(a^2+b^2) int [ dt ] + 1/[a^2(a^2+b^2)] int [b^2 / ( 1 + (1+b^2/a^2)*t^2 ) dt ] =

das erste Teilintegral ergibt t/(a^2+b^2) + C1

das zweite Teilintegral ist ja doch wieder dieses Grundintegral
int 1/(1+x^2) dx = arctan(x)
bzw.
int a^2/(1+a^2x^2) dx = a*arctan(ax)

also noch ein wenig umformen

b^2/[a^4(1+b^2/a^2)^2] int [(1+b^2/a^2) / ( 1 + (1+b^2/a^2)*t^2 ) dt ] =

b^2/[a^4(1+b^2/a^2)^2] * sqrt(1+b^2/a^2) * arctan( sqrt(1+b^2/a^2) t ) + C2 =

b^2/[a(a^2+b^2)] * 1/sqrt(a^2+b^2) * arctan( 1/a*sqrt(a^2+b^2) t ) + C2

und insgesamt ergibt das:

1/(a^2+b^2) * [ t + b^2/a * 1/sqrt(a^2+b^2) * arctan( 1/a*sqrt(a^2+b^2) t ) ] + C
mit t = tan(x)


Hi Megamath,

solltest Du Dir die Lsg. von MathDraw anschauen, die is falsch

MathDraw

denn wenn ich habe

int 1/[((e^2+1) * a^2 + (e*b)^2 ) * (e^2+1)] de dann darf man den Term 1/(e^2+1) nicht vors Integral ziehen, aber das genau macht er von Zeile 2 auf Zeile 3 - dieser Schurke!

Mathematica liefert mir auch etwas anderes, und MathWorlds Integrator mag mein Netscape nicht http://integrals.wolfram.com/

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5127
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Mai, 2005 - 14:53:   Beitrag drucken

Hi Walter

Ich präsentiere hier meinen Loesungsweg, Schritt für Schritt.

Ich substituiere tan x = u ; dx / (cos x)^2 = du
also:
dx = (cos x) ^2 * du = du / [1 + (tan x)^2] = du / (1+u^2).

Umrechnungen:
(cos x)^2 = 1 / [1 + (tan x)^2] = 1 / (1+u^2)
(sin x) ^2 = (tan x)^2 / [1 + (tan x)^2] = u^2 / (1+u^2)


Abkürzung für einen konstanten Term

Ich setze:
sqrt(a^2+ b^2) / a = c =>> a^2 + b^2 = a^2 * c^2

Setzt man dies in f(x) * dx =
{[cos(x) ^2] / [a^2 + b^2 * (sin x) ^2 ]} dx
ein, so entsteht schliesslich:
g(u) = du / [(1+u^2) * {(a^2 + b^2) *u^2 + a^2}]
Den Term a^2 + b^2 im zweiten Faktor des Nenners
ersetze ich gemäss der Vorbereitung durch a^2 * c^2,
somit:

g(u) = 1 / a^2 * 1 / [(u^2 + 1)*(c^2 u^2 + 1)]

Diese Funktion muss nun nach u integriert werden.

Eine kleine Pause davor kann nichts schaden!


Fortsetzung folgt

Gruss
H.R.
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5128
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Mai, 2005 - 15:01:   Beitrag drucken

Hi Walter

Fortsetzung
bevor ich die Funktion g(u)
g(u) = 1 / a^2 * h(u) mit
h(u) = 1 / [(u^2 + 1)*(c^2 u^2 + 1)] nach u integriere,
werde ich sie ein wenig vorbereiten; mit kleinen Tricks, damit ich schneller am Ziel bin.

Ich multipliziere mit b^2 und dividiere sofort wieder mit b^2
und ersetze dann b^2 /a^2 durch c^2 – 1 (hihi!).

Es kommt:

g(u) =b^2 /(a^2 * b^2) * h(u) = 1/b^2 * (c^2 -1) * h(u)

oder.

g(u) = 1 / b^2 * [ (c ^2 – 1) / [(u^2 + 1)*(c^2 u^2 + 1)]

Für den Zähler in der eckigen Klammer schreibe ich in weiser
Voraussicht:
c^2 – 1 = c^2 + c^2 u^2 – 1 – c^2 u^2, so dass g(u)
die endgültige Gestalt annimmt:

g(u) = 1/b^2 *{ c^2 / (c^2 u^2 + 1) – 1 / ( 1 + u^2) }

Das lässt sich freihändig integrieren (zwei bekannte Integrale frei Haus):

Resultat

Stammfunktion in u:
G(u) = 1/b^2 * [ c * arc tan (c u ) – arc tan u]

Rücktransformation und Ersetzung von c durch
c = sqrt(a^2+ b^2) / a führt auf das Ergebnis,
Stammfunktion in x:

F(x) = w /(a b ^2) *arc tan [(w * tan x) / a ] - x / b^2.

w steht für die Wurzel aus (a^2 + b^2);
w = sqrt (a^2 + b^2).

Gruss
H.R.

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