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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5126 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 20:12: |
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Hi allerseits Die Integral-Aufgabe VII ist nicht einfach, vor allem bereiten die Konstanten etwas Muehe Man bestimme eine Stammfunktion von f(x) mit f(x) = [cos(x) ^2] / [a^2 + b^2 * (sin x) ^2 ] Hinweis: ich bin mit der Substitution tan x = u durchgedrungen! Gruss H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1332 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 21:49: |
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f(x) = [(cos x)^2] / [a^2 + b^2 * (sin x)^2 ] t = tan(x) dt = 1/(cos x)^2 dx dt / ( 1/(1 + t^2) ) = dx t^2 = (sin x)^2/(cos x)^2 (cos x)^2 t^2 = (sin x)^2 (1-(sin x)^2) t^2 = (sin x)^2 t^2 = (sin x)^2 * (1 + t^2) t^2/(1 + t^2) = (sin x)^2 1/(1 + t^2) = (cos x)^2 damit wird das zu int [ dt / ( 1/(1 + t^2) ) * 1/(1 + t^2) / ( a^2 + b^2 * t^2/(1 + t^2) ) ] = int [ (1 + t^2) / ( a^2 * (1 + t^2) + b^2 * t^2 ) dt ] = int [ (1 + t^2) / ( a^2 + a^2t^2 + b^2t^2 ) dt ] = int [ (1 + t^2) / ( a^2 + (a^2+b^2)t^2 ) dt ] = 1/(a^2+b^2) int [ (1 + t^2) / ( a^2/(a^2+b^2) + t^2 ) dt ] = 1/(a^2+b^2) int [{1 + (b^2/(a^2+b^2)) / ( a^2/(a^2+b^2) + t^2 )} dt ] = 1/(a^2+b^2) int [{1 + b^2 / ( a^2 + (a^2+b^2)*t^2 )} dt ] = 1/[a^2(a^2+b^2)] int [{a^2 + b^2 / ( 1 + (1+b^2/a^2)*t^2 )} dt ] = 1/(a^2+b^2) int [ dt ] + 1/[a^2(a^2+b^2)] int [b^2 / ( 1 + (1+b^2/a^2)*t^2 ) dt ] = das erste Teilintegral ergibt t/(a^2+b^2) + C1 das zweite Teilintegral ist ja doch wieder dieses Grundintegral int 1/(1+x^2) dx = arctan(x) bzw. int a^2/(1+a^2x^2) dx = a*arctan(ax) also noch ein wenig umformen b^2/[a^4(1+b^2/a^2)^2] int [(1+b^2/a^2) / ( 1 + (1+b^2/a^2)*t^2 ) dt ] = b^2/[a^4(1+b^2/a^2)^2] * sqrt(1+b^2/a^2) * arctan( sqrt(1+b^2/a^2) t ) + C2 = b^2/[a(a^2+b^2)] * 1/sqrt(a^2+b^2) * arctan( 1/a*sqrt(a^2+b^2) t ) + C2 und insgesamt ergibt das: 1/(a^2+b^2) * [ t + b^2/a * 1/sqrt(a^2+b^2) * arctan( 1/a*sqrt(a^2+b^2) t ) ] + C mit t = tan(x) Hi Megamath, solltest Du Dir die Lsg. von MathDraw anschauen, die is falsch MathDraw denn wenn ich habe int 1/[((e^2+1) * a^2 + (e*b)^2 ) * (e^2+1)] de dann darf man den Term 1/(e^2+1) nicht vors Integral ziehen, aber das genau macht er von Zeile 2 auf Zeile 3 - dieser Schurke! Mathematica liefert mir auch etwas anderes, und MathWorlds Integrator mag mein Netscape nicht http://integrals.wolfram.com/ Gruß, Walter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5127 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Mai, 2005 - 14:53: |
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Hi Walter Ich präsentiere hier meinen Loesungsweg, Schritt für Schritt. Ich substituiere tan x = u ; dx / (cos x)^2 = du also: dx = (cos x) ^2 * du = du / [1 + (tan x)^2] = du / (1+u^2). Umrechnungen: (cos x)^2 = 1 / [1 + (tan x)^2] = 1 / (1+u^2) (sin x) ^2 = (tan x)^2 / [1 + (tan x)^2] = u^2 / (1+u^2) Abkürzung für einen konstanten Term Ich setze: sqrt(a^2+ b^2) / a = c =>> a^2 + b^2 = a^2 * c^2 Setzt man dies in f(x) * dx = {[cos(x) ^2] / [a^2 + b^2 * (sin x) ^2 ]} dx ein, so entsteht schliesslich: g(u) = du / [(1+u^2) * {(a^2 + b^2) *u^2 + a^2}] Den Term a^2 + b^2 im zweiten Faktor des Nenners ersetze ich gemäss der Vorbereitung durch a^2 * c^2, somit: g(u) = 1 / a^2 * 1 / [(u^2 + 1)*(c^2 u^2 + 1)] Diese Funktion muss nun nach u integriert werden. Eine kleine Pause davor kann nichts schaden! Fortsetzung folgt Gruss H.R. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5128 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Mai, 2005 - 15:01: |
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Hi Walter Fortsetzung bevor ich die Funktion g(u) g(u) = 1 / a^2 * h(u) mit h(u) = 1 / [(u^2 + 1)*(c^2 u^2 + 1)] nach u integriere, werde ich sie ein wenig vorbereiten; mit kleinen Tricks, damit ich schneller am Ziel bin. Ich multipliziere mit b^2 und dividiere sofort wieder mit b^2 und ersetze dann b^2 /a^2 durch c^2 – 1 (hihi!). Es kommt: g(u) =b^2 /(a^2 * b^2) * h(u) = 1/b^2 * (c^2 -1) * h(u) oder. g(u) = 1 / b^2 * [ (c ^2 – 1) / [(u^2 + 1)*(c^2 u^2 + 1)] Für den Zähler in der eckigen Klammer schreibe ich in weiser Voraussicht: c^2 – 1 = c^2 + c^2 u^2 – 1 – c^2 u^2, so dass g(u) die endgültige Gestalt annimmt: g(u) = 1/b^2 *{ c^2 / (c^2 u^2 + 1) – 1 / ( 1 + u^2) } Das lässt sich freihändig integrieren (zwei bekannte Integrale frei Haus): Resultat Stammfunktion in u: G(u) = 1/b^2 * [ c * arc tan (c u ) – arc tan u] Rücktransformation und Ersetzung von c durch c = sqrt(a^2+ b^2) / a führt auf das Ergebnis, Stammfunktion in x: F(x) = w /(a b ^2) *arc tan [(w * tan x) / a ] - x / b^2. w steht für die Wurzel aus (a^2 + b^2); w = sqrt (a^2 + b^2). Gruss H.R. |
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