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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5123
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 13:04: | 
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Hi allerseits
Es folgt als weitere Integral-Aufgabe V mit trigonometrischen Funktionen:
int [dx /{a^2 (cos x)^2 + b^2 (sin x)^2}]
a und b sind von null verschieden.
Mit freundlichen Gruessen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1330
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 16:21: |
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subst. mit t = tan(x)
t^2 = tan^2(x) = sin^2(x)/cos^2(x)
t^2 cos^2(x) = sin^2(x)
t^2 cos^2(x) = 1-cos^2(x)
(t^2+1) cos^2(x) = 1
cos^2(x) = 1/(t^2+1)
t^2 (1-sin^2(x)) = sin^2(x)
t^2 = (1+t^2) sin^2(x)
t^2/(1+t^2) = sin^2(x)
dt = 1/cos^2(x) dx
cos^2(x) dt = dx
1/(t^2+1) dt = dx
daher wird das zu
int [ ( 1/(t^2+1) dt ) / ( a^2t^2/(1+t^2) + b^2/(1+t^2) ) ] =
int [ dt / ( a^2t^2 + b^2 ) ] =
1/b^2 int [ dt / ( (a/b)^2t^2 + 1 ) ]
das geht mit dem Grundintegral
int 1/(1+x^2) dx = arctan(x)
bzw. etwas abgewandelt
int t^2/(1+(tx)^2) dx = t arctan(tx)
d.h.
1/b^2 int [ dt / ( (a/b)^2t^2 + 1 ) ] =
1/a^2 int [ (a/b)^2 dt / ( (a/b)^2t^2 + 1 ) ] =
1/a^2 * a/b * arctan(a/b t) + C =
1/(ab) * arctan(a/b t) + C mit t = tan(x)
Gruß,
Walter
(Beitrag nachträglich am 16., Mai. 2005 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5124
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 16:45: |
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Hi Walter
Erfolgreich die Substitution und erfreulich das Resultat.
Wir benötigen es noch für die nächste Integral-Aufgabe!
Danke!
Gruss
H.R. |
