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Integral mit trigonometrischen Funkti...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5113
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 13:54:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Zu Pfingsten erscheint ein spezielles Integral, das, wie es
sich gehoert, zu Erfolgserlebnissen führen soll.

Es liegt eine Vereinfachung des Integrals I der laufenden
Serie der Integrale mit trigonometrischen Funktionen vor.
Wir setzen an: a = 0, b =3, c = 4.
Daher lautet der Integrand
f(x) = 1 / [3 sin x + 4 cos x].

Die bisherigen Loesungsmethoden seinen tabu, ebenso
bereits vorliegende Resultate.

Es soll nach der folgenden Anleitung vorgegangen werden:
Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 und 4
diene als Vorlage.
Der Gegenwinkel der Kathete 4 sei die Konstante k.
Man fuehre sin k und cos k in den Integranden ein
und vereinfache ihn so stark wie moeglich.

Bekannt sei eine Stammfunktion der Kosekansfunktion,
d.h. wir entnehmen int [1 / (sin z) * dz] einer Tabelle.
Hihi: es erscheint ln ¦(tan z/2)¦

Das Schlussresultat soll so einfach wie moeglich
dargestellt werden.

Das sollte funktionieren.
Viel Vergnuegen!

Mit freundlichen Gruessen
H.R.Moser
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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1325
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 14:28:   Beitrag drucken

damit gilt dann:

sin k = 4/5 <=> 4 = 5 * sin k
cos k = 3/5 <=> 3 = 5 * cos k

damit steht dann da:

f(x) = 1 / [3 sin x + 4 cos x]

f(x) = 1 / [5 cos k sin x + 5 sin k cos x] = 1/[5 sin(k + x)]

INT f(x) dx = INT 1 / [5 sin(k + x)] dx =
1/5 INT 1/sin(k + x) dx =
1/5 ln| tan( ( k + x ) / 2 ) | + C
mit k = arctan(4/3)

aha
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5118
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 20:09:   Beitrag drucken

Hi Walter

Besten Dank für Deine erfolgreichen
Bemuehungen ohne gehabte Muehe.
Mir gefaellt diese Methode sehr, weil sie aus dem
ueblichen Rahmen faellt

Mit freundlichen Gruessen
H.R.
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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1328
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 20:39:   Beitrag drucken

Hallo Megamath

ich war ein wenig überrascht, daß des so auch geht; und dabei fällt mir ein, daß man derartige "Tricks" durchaus öfters anwenden kann.

ich zeige hier wie es allgemein gehen könnte:

f(x) = 1 / [a sin x + b cos x] mit a, b ¹ 0

Fall 1: a und b haben unterschiedliches Vorzeichen

hier einfach gegebenfalls mit -1 den Bruch erweitern, sodaß a positiv ist und b negativ

a und -b stellen Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks dar, dessen Hypothenuse bestimmt sich mit c = sqrt( a^2 + (-b)^2 )

-b/c = sin k <=> b = -c sin k
a/c = cos k <=> a = c cos k

damit haben wir

f(x) = 1 / [c cos k sin x - c sin k cos x]

und das ergibt dann

f(x) = 1 / [ c sin( x - k ) ]
damit sind wir wieder bei dem einen Grundintegral

INT 1 / sin(x) dx = ln|tan(x/2)|


Fall 2: a und b haben selbes Vorzeichen

hier einfach gegebenfalls mit -1 den Bruch erweitern, sodaß a und b positiv sind

a und b stellen Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks dar, dessen Hypothenuse bestimmt sich mit c = sqrt( a^2 + b^2 )

b/c = sin k <=> b = c sin k
a/c = cos k <=> a = c cos k

damit haben wir

f(x) = 1 / [c cos k sin x + c sin k cos x]

und das ergibt dann

f(x) = 1 / [ c sin( k + x ) ]
damit sind wir wieder bei dem einen Grundintegral

INT 1 / sin(x) dx = ln|tan(x/2)|


Gruß,
Walter

(Beitrag nachträglich am 15., Mai. 2005 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5122
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 16. Mai, 2005 - 12:51:   Beitrag drucken

Hi Walter

Besten Dank für Deine Lösung des allgemeinen Falls für
diesen Typus.
Die Fallunterscheidung ist offenbar notwendig und hilfreich.

Gruss
H.R

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