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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5106
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 13:06: | 
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Hi allerseits
Neue Aufgabe III zum gleichen Thema:
man berechne das Integral
int [ dx / (a + b sin x + c cos x)
Dabei sei vorausgesetzt
a^2 > b^2 + c^2
numerisches Beispiel: a=4, b = 2, c=3
Lösung in diesem Fall:
1/sqrt(3) * arc tan [(t+2)/sqrt(3)] + C
mit t = tan(x/2)
Anmerkung
Ich werde versuchen, zu Pfingsten alle drei Aufgaben
in einem Zug zu lösen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1324
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 01:28: |
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Hallo Megamath,
ich knüpfe direkt hier
an:
nach der Substitution von t = tan(x/2)
erhält man:
INT 2/[(a-c)t^2 + 2bt + (a+c)] dt
Partialbruchzerlegung
(a-c)t^2 + 2bt + (a+c) = 0
t = ( -2b +/- sqrt( 4b^2 - 4a^2 + 4c^2 ) ) / ( 2a - 2c )
im Unterschied zum Integral mit trigonometrischen Funktionen I ist hier vorausgesetzt, daß gilt: a^2 > b^2 + c^2, damit ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, daher muß das ganze vorher noch umgeformt werden um mit dem Grundintegral INT 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C weiterarbeiten zu können.
INT 2/[(a-c)t^2 + 2bt + (a+c)] dt =
INT 2/(a-c) * 1/[t^2 + 2b/(a-c)t + (a+c)/(a-c)] dt =
2/(a-c) INT 1/[(t + b/(a-c))^2 + (a+c)/(a-c) - b^2/(a-c)^2] dt =
2/(a-c) INT 1/[(t + b/(a-c))^2 + (a^2-c^2)/(a-c)^2 - b^2/(a-c)^2] dt =
2/(a-c) INT 1/[(t + b/(a-c))^2 + (a^2-b^2-c^2)/(a-c)^2] dt =
2*(a-c) INT 1/[(t*(a-c) + b)^2 + (a^2-b^2-c^2)] dt =
was muß ich für t substituieren um mit dem Grundintegral arbeiten zu können?
t = us+v, u und v gilt es zu bestimmen
((us+v)*(a-c) + b)^2 + (a^2-b^2-c^2) =
((a-c)us + (a-c)v + b)^2 + (a^2-b^2-c^2)
I: (a-c)^2u^2 = (a-c)^2v^2 + b^2 + a^2 - b^2 - c^2 + 2b(a-c)v
II: (a-c)v + b = 0 => v = -b/(a-c)
I: (a-c)^2u^2 = b^2 + a^2 - c^2 - 2b^2 => u = sqrt(a^2 - c^2 - b^2) / (a-c)
daher: t = s*sqrt(a^2 - c^2 - b^2) / (a-c) - b/(a-c)
bzw.
s = (b+(a-c)t)/sqrt(a^2 - c^2 - b^2)
und
dt = sqrt(a^2 - c^2 - b^2) / (a-c) ds
2*(a-c) INT 1/[(t*(a-c) + b)^2 + (a^2-b^2-c^2)] dt
wird damit zu
2*(a-c) INT 1/[(s*sqrt(a^2-c^2-b^2))^2 + (a^2-b^2-c^2)] dt =
2*(a-c)/(a^2-c^2-b^2) INT 1/(s^2 + 1) dt =
2*(a-c)/(a^2-c^2-b^2) INT 1/(s^2 + 1) sqrt(a^2 - c^2 - b^2) / (a-c) ds =
2/sqrt(a^2-c^2-b^2) INT 1/(s^2 + 1) ds =
2/sqrt(a^2-c^2-b^2) * arctan(s) + C
rücksubstituiert wird das zu
2/sqrt(a^2-c^2-b^2) * arctan((b+(a-c)t)/sqrt(a^2 - c^2 - b^2)) + C
oder
2/sqrt(a^2 - c^2 - b^2) * arctan[ ( b + (a-c) tan(x/2) ) / sqrt(a^2 - c^2 - b^2) ] + C
jetzt mit den numerischen Werten ergibt das
2/sqrt(3) * arctan[ ( 2 + tan(x/2) ) / sqrt(3) ] + C
Mein CAS stimmt mit meinem Ergebnis überein, wo ist bei Dir die 2 geblieben Megamath 
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5111
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Mai, 2005 - 09:20: |
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Hi Walter
Du hast zu später Stunde wiederum zielstrebig und
erfolgreich gearbeitet.
Selbst der Faktor 2 ist Dir nicht entgangen.
Ich habe ihn uebersehen, weil er im Mathdraw am Schluss
notiert war, statt wie üblich, am Anfang.
M.a.W.: ich habe mich mit der Haelfte begnuegt, immerhin!
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
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