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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5102
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 10:25: | 
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Hi allerseits
Mit den Integralen soll noch lange nicht Schluss sein.
In Vergessenheit geraten ist eine am 10.5.05 veröffentliche Aufgabe.
Sie sei hier nochmals gestellt und etwas ausgebaut:
Man ermittle
int [dx / (a + b sin x + c cos x)
Dabei sei vorausgesetzt
a^2 < b^2 + c^2 ; a verschieden von c.
Hinweis:
Auch dieses Integral laesst sich mit natuerlichen Logarithmen
darstellen, in deren Argumenten ebenfalls tan(x/2) auftritt.
Anmerkung
Die von mir oft benuetzte Substitution
tan(x/2) = t ist sehr wirksam und sozusagen narrensicher,
aber etwas umstaendlich.
Gewisse CAS – Systeme sind der vorliegenden Aufgabe
in der allgemeinen Form nicht gewachsen; wohl aber bei
numerischen Beispielen (z.B. Mathdraw).
Man kontrolliere die eigene Berechnung am numerischen Beispiel
a=1,b=2,c=3
Viel Vergnuegen bei der Loesung!
Mit freundlichen Gruessen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1317
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 11:39: |
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1/(a + b sin x + c cos x)
t = tan(x/2)
cos(2x/2) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2)
cos(x) = 1 - 2sin^2(x/2)
2sin^2(x/2) = 1 - cos(x)
sin(x/2) = sqrt[(1 - cos(x))/2]
cos(2x/2) = 2cos^2(x/2) - 1
cos(x/2) = sqrt[(1 + cos(x))/2]
daher: t = sin(x/2)/cos(x/2) = sqrt[(1 - cos(x))/(1 + cos(x))]
t^2(1 + cos(x)) = 1 - cos(x)
t^2 - 1 + t^2cos(x) + cos(x) = 0
cos(x)*(1 + t^2) = 1 - t^2
cos(x) = (1 - t^2)/(1 + t^2)
1-cos^2(x) = 1-((1 - t^2)/(1 + t^2))^2
sin(x) = sqrt(1-((1 - t^2)/(1 + t^2))^2)
sin(x) = sqrt[(1 + t^2)^2 - (1 - t^2)^2]/(1 + t^2)
sin(x) = sqrt(1 + 2t^2 + t^4 - 1 + 2t^2 - t^4)/(1 + t^2)
sin(x) = sqrt(4t^2)/(1 + t^2) = 2t/(1 + t^2)
t = tan(x/2)
dt = 1/2 * 1/cos^2(x/2) dx
2 cos^2(x/2) dt = dx
(1 + (1 - t^2)/(1 + t^2)) dt = dx
2/(1 + t^2) dt = dx
INT 1/(a + b sin x + c cos x) dx wird zu
INT 2/[(1 + t^2)*(a + 2bt/(1 + t^2) + (c - ct^2)/(1 + t^2))] dt =
INT 2/((1 + t^2)*a + 2bt + (c - ct^2)) dt =
INT 2/[(a-c)t^2 + 2bt + (a+c)] dt
Partialbruchzerlegung
(a-c)t^2 + 2bt + (a+c) = 0
t = ( 2b +/- sqrt( 4b^2 - 4a^2 + 4c^2 ) ) / ( 2a - 2c )
damit sieht man warum die Einschränkungen notwendig sind:
es muß gelten a - c ¹ 0, weil sonst durch 0 dividiert wird und es muß weiters gelten
4b^2 - 4a^2 + 4c^2 >= 0 oder a^2 <= b^2 + c^2, sonst wird die Wurzel imaginär;
t1,2 = ( b +/- sqrt( b^2 - a^2 + c^2 ) ) / ( a - c )
t1 = ( b + sqrt( b^2 - a^2 + c^2 ) ) / ( a - c )
t2 = ( b - sqrt( b^2 - a^2 + c^2 ) ) / ( a - c )
2/[(a-c)t^2 + 2bt + (a+c)] = A/(t - t1) + B/(t - t2)
2 = A*(t - t2) + B*(t - t1)
I: A + B = 0 => A = -B
II: -A*t2 - B*t1 = 2
-A*t2 + A*t1 = 2
A*( t1 - t2 ) = 2
A * 2sqrt( b^2 - a^2 + c^2 ) / ( a - c ) = 2
A * sqrt( b^2 - a^2 + c^2 ) / ( a - c ) = 1
A = ( a - c ) / sqrt( b^2 - a^2 + c^2 )
B = ( c - a ) / sqrt( b^2 - a^2 + c^2 )
des sieht aber grauenvoll aus 
es bleibt
INT A / ( t - t1 ) + B / ( t - t2 ) dt =
A * ln| t - t1 | + B * ln| t - t2 | + C =
A * ln| tan(x/2) - t1 | + B * ln| tan(x/2) - t2 | + C
jetzt mit a = 1, b = 2, c = 3
t1 = -1 - sqrt( 3 )
t2 = -1 + sqrt( 3 )
A = -1 / sqrt( 3 )
B = 1 / sqrt( 3 )
daher
-1 / sqrt( 3 ) * ln| tan(x/2) + 1 + sqrt( 3 ) | + 1 / sqrt( 3 ) * ln| tan(x/2) + 1 - sqrt( 3 ) | + C
oder
1/sqrt(3) * [ ln| tan(x/2) + 1 - sqrt( 3 ) | - ln| tan(x/2) + 1 + sqrt( 3 ) | ] + C
Gruß,
Walter
(Beitrag nachträglich am 14., Mai. 2005 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5104
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 12:47: |
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Hi Walter
Du hast ein vorbildliches Durchstehvermögen!
Es braucht einige Zeit, Deine Berechnung
zu testen und zu überprüfen.
Probiere es mit dem von mir in der Aufgabestellung
notierten numerischen Beispiel.
Das Resultat sollte sein:
sqrt(3) / 6 * ln {[t – 1 + sqrt(3)] / [t – 1 - sqrt(3)]}+ C
mit t = tan(x/2)
Mit freundlichen Grüßen
H.R. |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1318
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 13:19: |
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Hallo Megamath,
Ups, ich hab irgendwo ne 2 weggelassen, damit hat sich dann der Faktor 1/sqrt(3) statt sqrt(3)/6 eingeschlichen 
t1 = ( b + sqrt( b^2 - a^2 + c^2 )/2 ) / ( a - c )
t2 = ( b - sqrt( b^2 - a^2 + c^2 )/2 ) / ( a - c )
t1 - t2 = sqrt( b^2 - a^2 + c^2 ) / ( a - c )
so passts
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5107
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 13:59: |
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Bravo!
Hauptsache: man findet den oder die Fehler.
MfG
H.R. |
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