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Dreaminggirl (Dreaminggirl)
Mitglied
Benutzername: Dreaminggirl
Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Mai, 2005 - 18:14: | 
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Hi ihr,
kann mir irgendjemand mal helfen. weiß zwar prinzipiell was vollständig und ähnliches heißt, aber irgendwie bekomm ich den beweis nicht hin.
bin über jede hilfe dankbar...
Seien a,b Elemente von R mit a<b, F:=C(a,b)
(Raum der stetigen Funktionen).
Zeigen sie, dass F nicht vollständig ist bzgl der Norm
II f II 1 := Integral von a bis b: Betrag von f(x) dx für f element von F.
Danke |
JMK
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Mai, 2005 - 20:43: |
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Du musst zeigen, dass es eine Cauchy-Folge von Funktionen (fn) : (a,b)->|R gibt, deren Grenzwert bezüglich der Norm nicht mehr in C(a,b) liegt.
OBdA kannst du das Intervall von (0,2) betrachten (sonst einfach die Funktion umskalieren).
Dann suchst du dir eine Funktionenfolge die gegen eine nichtstetige Funktion konvergiert.
Zum Beispiel w�re dies die Folge:
fn(x)={
x^n f�r 0<=x<=1
1 f�r 1<x<=2
}
oder ich glaube etwas einfacher aber jetzt grade f�r mich schwerer in Formeln zu fassen (zuviel Nachdenken ;) ):
auf (1,2) konstant =1 und auf (0,1-1/n) konstant=0 und auf (1-1/n,1) eine Gerade die von 0 auf 1 w�chst.
Diese Funktion ist sicherlich stetig, das Integral einfach zu berechnen und der Grenzwert ist die Funktion 0 auf (0,1) und 1 auf (1,2) was nicht stetig ist.
Nimm einfach an, deine Grenzfunktion w�re nicht 0 auf (0,1) und f�hre das zum Widerspruch indem du zeigst, dass dann ||fn-f||>c>0 bleibt auch f�r n->unendlich und mache das gleiche mit 1 auf (1,2). Dann hast du gezeigt das es keine Grenzfunktion in C(0,1) gibt. |
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