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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1770
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Mai, 2005 - 13:41: | 
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Hi,
wie kann ich sehen, ob das Gleichungssystem:
I) 3a^2 + 3c^2 = 1
II) a*b = -cd
II) 3b^2 + 3d^2 = 1
rationale Lösungen hat?
Ich kam auf die Frage bei der Suche einer Isometrie der Bilinearformen <1,1> und <3,3>.
Ich hatte dann für die Isometrie angesetzt:
f=
Und kam dann auf das Gleichungssystem.
Ebenso könnte ich fragen, ob:
I) a^2 + c^2 = 3
II) ab = -cd
III) b^2 + d^2 = 3
rationale Lösung hat? Gibt es da einen Weg das zu sehen, oder zu zeigen das es keine gibt?
mfg |
epsilon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Mai, 2005 - 14:32: |
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Ich hoffe, Du bist nicht enttäuscht, wenn es keine rationalen Lösungen gibt.
Beweis durch Widerspruch:
Ich nehme mal an, es gäbe rationale Lösungen a,b,c,d;
dann gibt es einen gemeinsamen Hauptnenner n und es wäre a=p/n; b=q/n; c=r/n und d=s/n mit ganzen Zahlen p,q,r,s,n.
Wenn man alle Gleichungen mit n^2 durchmultipliziert (ich nehme jetzt mal Deine untere Variante), erhält man folgendes GLS:
(I) p^2 + r^2 = 3*n^2
(II) p*q = -r*s
(III) q^2 + s^2 = 3*n^2
Bereits Gleichung (I) ist nicht lösbar, denn:
Wenn z.B. p und r beides gerade Zahlen sind, dann dividieren wir die Gleichung so oft durch 4, bis mindestens eine der beiden Zahlen ungerade ist.
Ich nehme mal an: p' = p /(2^m) wäre ungerade.
p' ungerade => p'^2 = 4*k + 1
r' gerade oder ungerade => r'^2 = 4*k' oder 4*k' + 1
=> p'^2 + r'^2 = 4*k"+1 oder 4*k"+2
n' gerade => n'^2 = 4*l => 3n'^2 = 4*l'
und das passt nicht
n' ungerade => n'^2 = 4*l+1 => 3*n'^2 = 4*l' + 3
und das passt auch nicht
Gruß epsilon |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1771
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Mai, 2005 - 19:39: |
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Hi,
ich verstehe nicht:
wenn p'^2+r'^2 = 4*k''+2
und n' gerade, dann ist ja n'^2 auch gerade
n'^2 = 4l
aber 4k''+2 und 4l sind beides gerade Zahlen.
Sie könnten doch gleich sein? Wo ist da der Wiederspruch?
mfg
PS: Es wäre schön wenn es keine rationalen Zahlen gibt, d.h. einfach es gibt keine Isometrie dieser beiden Bilinearformen über Q! |
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