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Zu zeigen,dass T(x) eine Konstante is...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5058
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Mai, 2005 - 15:00:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Zur Kontrolle der Lösungen einer Differentialgleichung,
die vor kurzem in diesem Forum in Erscheinung trat,
benötige ich kollegiale Hilfe.
Wie zeigt man möglichst elegant, dass der folgende Term T
für alle x-Werte eine Konstante darstellt, und dass diese
Konstante null ist?

T = (x^2 - 1) / (x^2 + 1) + cos [2 arc tan x]

MfG
H.R.Moser,megamath
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1822
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Mai, 2005 - 15:18:   Beitrag drucken

Hi Megamath :-)

Was hältst du hiervon:
Wir setzen x=tan(t) für t aus (-p/2,p). Dann durchläuft x alle reellen Zahlen.
Es folgt
T = (tan(t)2-1)/(tan(t)2+1)+cos(2t)
Der linke Summand vereinfacht sich zu
sin2(t)-cos2(t)=-cos(2t)

Also ist T=0 für alle x aus IR.

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5059
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Mai, 2005 - 15:22:   Beitrag drucken

Hi Christian

Dsa gefällt mir sehr gut und dient meinen Zwecken bestens!
Besten Dank!

Herzliche Grüsse
H.R.
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5060
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Mai, 2005 - 17:00:   Beitrag drucken

Hi Christian

Noch eindrücklicher wird die Aussage T(x) = 0,
wenn man die Integrationskonstante, die bei der allgemeinen
Lösung der DGL mit von der Partie war, auch im Term T auftreten lässt.

Das sieht dann so aus:

T(x,c) = 1 - 2 / [ 1 + (x+c)^2 ] + cos [ 2 arc tan (x + c) ]

ist für alle reellen Zahlen x und c gleich null.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.

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