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Buzzy (Buzzy)
Neues Mitglied
Benutzername: Buzzy
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. April, 2005 - 16:52: | 
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Hallo.
Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Bestimme alle diffbaren Funktionen h:R->R mit
2(h(u)-h(v))=(u-v)(h'(u)+h'(v)) (u,v aus R)
Ich habe zuerst x:=u gesetzt, wobei x aus R{v} und die gegebene Gleichung nach h'(x) aufgelöst.
Der Tipp zu dieser Aufgabe lautete, dass man spätestens bei der 3. Ableitung eine Aussage über die Funktion machen können soll.
Nun ist diese 3. Ableitung bei mir =0. Heißt das, dass die Funktion die Form ax²+bx+c hat? Das klingt irgendwie zu einfach, um richtig zu sein...
Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
Danke! |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 999
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. April, 2005 - 18:36: |
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Buzzy,
Ich denke, Du liegst richtig .
Aus der gegebenen Funktionalgleichung folgt
zunächst, dass h (x) beliebig oft differenzierbar ist.
Für festgehaltenes v erhält man
h'(x) = - h'(v) + (x-v)h''(x) =>
h''(x) = h''(x) + (x-v)h'''(x) => h'''(x) = 0
Also
h(x) = a x2 + bx + c.
Setzt man in die gegebene Gleichung ein, so kommt
2av+b = 0 für beliebige v => a=b=0.
Einzige Lösung ist die konstante Funktion h(x)=c.
mfG Orion
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Buzzy (Buzzy)
Neues Mitglied
Benutzername: Buzzy
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Mai, 2005 - 09:47: |
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Also ich hab da jetzt doch noch mal ne Frage zu. Deine Rechnung ist mir eigentlich schon klar, allerdings frage ich mich, woher das "-" vor h'(v) bei h'(x) kommt? Das ist bei mir nämlich alles positiv, und dann klappt die restliche Rechnung nicht...
Was hab ich übersehen?
Danke nochmal! |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1002
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Mai, 2005 - 10:31: |
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Buzzy,
Stimmt, da ist mir ein "-" statt des "+" reingerutscht.
Die Einsetzprobe ergibt nun, dass genau alle
Polynomfunktionen höchstens 2. Grades die Gleichung erfüllen.
mfG Orion
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