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Shan22 (Shan22)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Shan22
Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. April, 2005 - 15:25: | 
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Hallo Zusammen,
vielleicht kann mir jemand bei einem Beweis helfen.
Sei (Omega,A,P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum mit Omega={0,1}^n und P der Gleichverteilung( Laplacemodell). Seien A_j={(w_1,...,w_n) Element Omega|w_j=1} für j=1,...,n und
A_(n+1) ={(w_1,...,w_n) Element Omega|w_1+...+w_n gerade}.
Man soll zeigen, dass die Ereignisse A_1,...,A_n, A_(n+1) abhängig sind, aber jeweils n dieser n+1 Ereignisse unabhängig sind.
danke.. |
dirk
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. April, 2005 - 16:17: |
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Lösung Teil 1/2:
Offensichtlich gilt:
(1) Omega enthält 2^n Elemente.
Ferner:
(2) Für jedes j = 1, ..., n + 1 gilt: A_j enthält 2^(n-1) Elemente.
Begründung für j = 1, ..., n: Mit Ausnahme der j-ten Koordinate, die auf einen Wert (den Wert 1) festgelegt ist, können alle anderen n-1 Koordinaten beliebig zwei verschiedene Werte annehmen (die Werte 0 und 1).
Begründung für j = n + 1: Man kann alle Elemente von A_(n + 1) so ermitteln, indem man ihre ersten n-1 Koordinaten beliebig aus den zwei Werten 0 und 1 wählt und die n-te Koordinate eindeutig so bestimmt, dass die Summe der Koordinaten gerade ist (die n-te Koordinate ist also durch die Wahl der ersten n-1 Koordinaten festgelegt).
Wegen der Gleichverteilung folgt aus (1) und (2):
(3) Für jedes j = 1, ..., n + 1 gilt: P(A_j) = 2^(n-1) / 2^n = 1/2
Zu zeigen sind die beiden Aussagen
(I) A_1, ..., A_(n + 1) sind abhängig.
(II) Für jedes k = 1, ..., n gilt: A_1, ..., A_(k – 1), A_(k + 1), ..., A_n, A_(n + 1) sind unabhängig.
(I) bedeutet definitionsgemäß
(4) P(S) ist ungleich pr
mit
S:= Schnittmenge aller A_j für j = 1, ..., n + 1
und
pr := Produkt über P(A_j) für j = 1, ..., n + 1.
Es ist
(5) S = Schnittmenge aller A_j für j = 1, ..., n geschnitten mit A_(n + 1) = {(1, 1, 1, ..., 1)} geschnitten mit A_(n + 1)
und damit
(6) S = leere Menge, falls n ungerade, oder S = {(1, 1, 1, ..., 1)}, falls n gerade.
also
(7) P(S) = 0 oder P(S) = 1 / 2^n
Andererseits ist wegen (3)
(8) pr = Produkt über 1/2 für j = 1, ..., n + 1 = 1 / 2^(n + 1).
Mit (7) und (8) ist (4) gezeigt, also gilt (I). |
dirk
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. April, 2005 - 16:18: |
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Lösung Teil 2/2:
Für den Beweis von (II) wähle ein k aus 1, ..., n.
Zu zeigen:
(9) P(S‘) ist gleich pr‘
mit
S‘:= Schnittmenge aller A_j für j = 1, ..., n + 1 ohne k
und
pr‘ := Produkt über P(A_j) für j = 1, ..., n + 1 ohne k.
Es ist
(10) S‘ = Schnittmenge aller A_j für j = 1, ..., n ohne k geschnitten mit A_(n + 1) = {(1, ..., 1, 0, 1, ..., 1), (1, ..., 1, 1, 1, ..., 1)} geschnitten mit A_(n + 1)
Die beiden Elemente (1, ..., 1, 0, 1, ..., 1) und (1, ..., 1, 1, 1, ..., 1) unterscheiden sich nur an der k-ten Stelle, und genau eines von beiden ist in A_(n + 1) enthalten. Daher besteht S aus genau einem Element, und wegen (1) ist daher
(11) P(S‘) = 1 / 2^n
Andererseits ist wegen (3)
(12) pr‘ = Produkt über 1/2 für j = 1, ..., n + 1 ohne k = 1 / 2^n.
Mit (11) und (12) ist (9) gezeigt, also gilt (II). |
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