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Shan22 (Shan22)
Mitglied
Benutzername: Shan22
Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. April, 2005 - 15:08: | 
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hallo,
vielleicht steigt ihr bei einem beweis durch:
F_0 und F_1 seien Fibonaccizahlen..
man soll mit dem Euklid Algorithmus folgendes zeigen: 1=ggT(F_j,F_(j+2))
und F_(j-1) F_(j+1) -F^2_j[=F_j und F^2] = (-1)^j |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 997
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. April, 2005 - 10:27: |
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Shan,
Hinweis:
Die Fibonacci-Zahlen F(n) sind definiert durch
(1) F(0)=0, F(1)=1, F(n+2) = F(n+1) + F(n).
Betrachte die Funktion
D(n) := F(n-1)F(n+1) - F(n)2 , n>=1.
Dann ist nach (1) : D(1) = -1. Ferner rechne nach,
dass wegen der Rekursionsformel (1)
D(n+1) = F(n)F(n+2)-F(n+1)2
= F(n)[F(n+1)+F(n)]-F(n+1)2
= -F(n+1)[F(n+1)-F(n)]+F(n)2
= -F(n+1)F(n) + F(n)2
= - D(n)
Daraus durch Induktion : D(n) = (-1)n.
Folgerung F(n) und F(n+1) sind teilerfremd. Dasselbe
gilt wegen der Rekursionsformel (1) dann auch für
F(n) und F(n+2).
mfG Orion
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