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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1755
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. April, 2005 - 20:36: | 
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Hi,
ich rechne jetzt schon seit Stunden hier rum.
Zeige, dass der Umfang der durch :
x=a*cos(t) ; y=b*sin(t) ; 0 £ t £ 2*p
gegebenen Ellipse gleich der Kurvenlänge des Graphen von
f(x)=Ö(a2-b2)*sin(x/b)
über eine Periode ist!
Also mein Ansatz:
L = ò0 2*p Ö(x'(t)2+y'(t)2) dt
Wenn ich jetzt mit cos2(t)=1-sin2(t) arbeite und t = x/b substituiere, komme ich nicht auf das dann nötige(!!), nämlich:
(unter der wurzel)
1 + (a2-b2)*(cos(x/b)/b)2
Auch wenn ich andersrum rechnen will, nämlich von f(x) auf (x(t),y(t)) zu schliessen das selbe Problem!
Die Integrale können ja nicht (elementar) berechnet werden, es muss ja nur gezeigt werden, das beide Integrale gleich sind!
Aber mir fehlt der entscheidene Schritt, ein Fehler in der Aufgabenstellung kann ich mir nicht vorstellen!
Habt ihr eine Idee??
mfg |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1278
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. April, 2005 - 20:59: |
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ich würd folgendes rausbekommen ...
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2
a^2y^2 = a^2b^2 - b^2x^2
y^2 = b^2 - (b/a)^2x^2
y = b sqrt(1 - 1/a^2*x^2)
y'(x) = -b/a * x/sqrt(a^2-x^2)
1 + (y'(x))^2 = 1 + b^2/a^2*x^2/(a^2-x^2)
u = 4/a INT [0;a] sqrt(a^2 + b^2/a^2 * x^2)/(a^2-x^2)) dx
und das ist irgendwie unbestimmt, div. durch 0 
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1756
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. April, 2005 - 21:35: |
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Hi Walter,
es mir geht es hier nur zu zeigen das die entstehenden Integrale gleich sind...
deren Existenz ist mir egal...
Ausserdem rechne ich ja mit der Parameterdarstellung und einmal mit der normalen Sinusfunktion!
mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 995
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. April, 2005 - 08:36: |
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hallo,
Ich vermute einen Fehler in der Aufgabenstellung :
Es sollte wohl heissen
f(x) = 1 + sqrt(a2-b2) cos(x/b).
Dann ist
L* :=
ò0 2pb sqrt[1+(a2-b2)sin2(x/b)/b2]dx
Substituiere x = bs, dann hast du es.
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1758
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. April, 2005 - 20:29: |
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Hi Orion,
danke! Ich hatte schon an mir gezweifelt.
Ich denke dann tut es auch:
f(x)=Ö(a2-b2)*cos(x/b)
is wohl nen Tippfehler meines Profs...mal fragen morgen...
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1759
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. April, 2005 - 15:04: |
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Hi Orion,
eine Fehler von uns beiden:
Folgendes kam mir grade in den Sinn:
ò0 2*p*b Ö(1+(a2-b2)*sin2(x/b)/b2) dx
Substituiere x=t-p/2*b
dx=dt
[0..2*p] -> [p/2*b, 5/2*p*b]
sin(t/b-p/2)=-cos(t/b) aber wir rechnen mit sin2
Dann:
òp/2*b 5/2*p*b = ò0 2*p*b -ò0 p/2*b + ò2*p*b 5/2*p*b
Im letzten Integral setze ich t = y+2p*b
dy = dx
[p/2*b, 5/2*p*b] -> [0, p/2*b]
cos(y/b+2*p)=cos(y/b)
Am Ende bleibt:
ò0 2*p*b Ö(1+(a2-b2)*cos2(t/b)/b2) dt
Und das war zu beweisen! Das deckt sich auch mit numerischen Auswertungen!
Was sagts du dazu??
mfg |
